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一、证明题

1． 设n 是平面区域D 的正向边界线C 的外法线，则

【答案】由

公式有

2． 设正项级数

【答案】

收敛. 证明：级数收敛，则

令

则

级数

的部分和为

从而级数

3． 证明：若

【答案】由于得当n>N时

即且

则因此，当

存在正整数N ，使

时，有

又因为

4． 证明:若

则

.

为.

对任意

上连续，所队有

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也收敛，其中

收敛。

根据数列极限的保号性知，对任意的

由迫敛性

有

有

'

在

上存在最大值M.

其中

上的连续函数，且对一切

【答案】

显然

，

而对于上面的

其中

使得

所以

有

并

依次进行下去，可知存在当又对一切

时，有连续，所以

5． 证明下面的方程在点(0, 0, 0) 附近惟一确定了隐函数z=f(x , y )

，将f (x , y ) 在点(0, 0) 展开为带皮亚诺型余项的二阶泰勒公式.

【答案】令

则F (x , y , z ) 在点(0，0，0) 的邻域内连续，

在点(0, 0, 0) 的邻域内连续，且由隐函数求导法则易知

所以

于是

6． 证明：1) 若

2) 若

则当

则

时，

3) 利用上题的递推公式计算：

【答案】1)

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于是由隐函数存在定理，方程F (x ，y , z ) =0在点

(0, 0, 0) 附近惟一确定了隐函数z=f(x , y ) , 满足f (0, 0) =0.

2)

因此

又

因此

3)(1) 利用题1) ，这时

故有

(2) 利用题1) ，这时

故有

(3) 利用题2) ，这时

故有

二、解答题

7． (1) 求表面积一定而体积最大的长方体；

(2) 求体积一定而表面积最小的长方体. 【答案】(1) 设长方体的长、宽、高分别为

表面积为

则体积为

限

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