当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设数

列成立. 证明：函数

【答案】

由

上连续，

所以对任意固定的

处间断，

处间断，

故函数 2． 依次取

由

在

在内的间断点集为

上连续.

在

处连续，

为中互不相同的点列

，

在

为函

数

在

在

上一致收敛

，上的惟一间断点.

设

均

玍上一致有界，即存在正数M 使得

内的间断点集为

知

对所有的与所有

上有定义且在每一点有极限，证明:f (x ) 在[a，b]上有界.

使得

则得到数列

记

【答案】反证法. 若f (x ) 在[a, b]上无上界，则对任意正整数n ，

存在由致密性定理知，存在收敛子列

的选取方法有

处存在极限矛盾. 故f (x ) 在[a, b]上有界.

证明:

这与f (x ) 在 3． 设

【答案】由

利用已知的关系式

可得

注意到

由上式得

易见

4． 已知函数在

由命题知，

存在. 在已知的关系式两边取极限可知

记.

上有二阶导数并且，的图像曲线为C ，过C

上点

引切线. 证明当t 变动时，由该切线与曲线C 以及直线

成的平面图形面积可取到最小值，并求出此值.

【答案】由题意得，切线与曲线C 以及直线

围成的平面图形面积为

且

所以

5． 证明：

【答案】(1

)

围

6． 证明:若

为包围区域V 的曲面的外侧，则

【答案】(1)

(2) 由(1) 的运算可得

二、解答题

7． 导出下列不定积分对于正整数n 的递推公式：

【答案】⑴

因此，

所以， 8． 求

【答案】由分部积分可得