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一、证明题

1． 设

在

上有

阶导数且

及

求证：【答案】将

.

在a 点作带有佩亚诺型余项的泰勒展开

对

在a 点作同样的展开，有

将上式代入式(1) 可得

比较式(2) 、式(3) ，且有故

2． 证明：设方程

所确定的隐函数

具有二阶导数，则当

【答案】由题设条件可得

故

所以

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由微分中值定理

则

时，有

3． 证明函数在区间上不一致连续，但是对于任意a>0, 在

则

. 上一致连续.

从而

在区间

【答案】(1)

方法一取

上不一致连续. 方法二

取

则存

在

但是存在

上不一致连续.

(2) 当

时，

当使得

取

从而

虽然满

足

在区间

’时，有

取即 4． 设

在

时，有

上一致连续. 上续，则取知

证明：对任意正整数n ，存在即可. 若

令

则

使得，在

上连续.

【答案】若由

若若

，则取不全为0, 则必有两点

中任一点即可；

使得

由根的存在定理，

5． 1) 设

(1

) (2)

若

则

2) 利用1) 题结果求极限：

【答案】 1)(1)

因为

存在正整

数

对于任给的

使得

当

于是，当

时

时，

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使得•即

证明，

存在正整数

使得当时当

同时，

时

由于M 的任意性，故

(2) 因为

所以对一切由(1) 的结论得

即

对于任给的

存在正整数

2) ⑴令(2)

令

则

则

且

由第1) 题(2) 得

由第1) 题(1) 得

6． 设f , g 为D 上的有界函数. 证明：

(1

) (2

)

【答案】(1) 对任意的

有

于是

故

(2) 对任意的

有

于是

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存在正整数N , 使得当

时即于是

使得当时即所以