2017年南京理工大学理学院616数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设
(1) 存在
在
使
(2) c 的最小值为. 【答案】(1) 将则
由巴塞伐尔等式得
故
由此可见，只要式，
故c 的最小值为
2． 设
在
.
内二阶可导，证明：
【答案】记
则过三点
的抛物线为
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上连续可导，证明：
在上展开成正弦级数
上述不等式总成立.
使式(1) 中等号成立. 易见，当
时，式
变成等
(2) 为求c 的最小值，必须求
上连续，在使
令而
又
由
3． 设
立即可得出结论.
是具有二阶连续偏导数的函数，证明：
则
故存在
其中D 为光滑曲线L 所围的平面区域，而是
沿曲线L 的外法线n 的方向导数.
【答案】在格林公式中，以P 代替
代替P 得
其中n 是L 的外法线方向. (1) 在
中令
则得
即
(2) 在
中，令
则得
即
(c ) 式减
式得
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4． 证明：
【答案】将原不等式变形为
成立.
这样就将问题转化为求令
在区域上的最大值.
解之可得，在D 的内部有惟一驻点(1，1) ，且注意到，
下面求f (X ，y ) 在D 的边界上的最大值. 在y=0上，令最大值为
综上，f (x ，y ) 在D 上的最大值为
5． 设f 在点证明：
【答案】由于
所以
而
故
可微，且在给定了 n 个向量
相邻两个向量之间的夹角为
即
，可得驻点
此时
因此，f (x ，y ) 在y=0上的
和
所以f (x ，y ) 在D
的内部最大值为
同理，f (x , y ) 在x=0上的最大值为
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