2017年南京师范大学教师教育学院878数学学科基础[专业硕士]之数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设a 为有理数，x 为无理数. 证明：
(1) a+x是无理数；(2) 当盾. 故a+x是无理数.
(2) 用反证法. 假设ax 是有理数. 因为a 是不等于零的有理数，所以无理数矛盾. 故ax 是无理数.
2． 设可微函数列在上收敛
，
【答案】依题意
，
对意
且m 个小区间上收敛，所以对于点
对任意
必存在某小区间
在
在
上作分割
的区间长度
存在N , 使得当使
满足
时，对任意
有
因为(/»:在是有理数. 这与x 是
时，ax 是无理数.
也是有理数. 这与x 是无理数矛
【答案】(1) 用反证法. 假设a+x是有理数，那么
在上一致有界，证明：
对一切
在上一致收敛.
均有
上一致有界，
故存在
及任意
由微分中值定理，可得
即对任意从而
在
存在N , 当]上一致收敛.
时，对任意. ，有
3． 叙述(1) 有限覆盖定理和(2) 魏尔斯特拉斯
【答案】(1) 有限覆盖定理：若个开区间来覆盖[a，b].
(2
)
定理(致密性定理) ，并用(1) 证明(2) .
中必存在有限
为闭区间[a，b]的一个(无限) 开覆盖，则在
定理(致密性定理) ：有界数列必存在收敛子列.
若
中任意一子列的极限. 由此可知，存在
中无收敛子列，则对任意
的在
中至多只含
中存在有限个开区间
中的有
不是
反证法. 设数
列
有
中的有限项. 于是得一满足上述条件的开区间族显然根据
为[a，b]的一个开覆盖，由有限覆盖定理，的构造性质可知，
中也只含有
中的有限项，从而[a, b]中也只含有
限项，这与
4． 若在
中，矛盾，所以结论得证.
上连续可微的增函数g 和连续可微的减函数h ，使得
上连续可微，所以
在上连续. 令
上连续可微，则存在
【答案】因为
在
因此
，
5． 已知
求证
与
取
在并且
上连续，从而是可积的
且是増函数，
是减函数。
所
以
【答案】当时，，则要证的不等式等价于
令
则
而
故
从而有
6． 设
在
上连续可导，证明：
【答案】方法一用积分中值定理. 因为
所以
方法二用分部积分法. 因为
而
所以
故
二、解答题
7． 等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义.
【答案】设旋转角与时间的函数关系为
则时刻t 到
而时刻t 的角速度定义为
8． 是否存在
由当由从而又知由于是
这与
存在及时，由
连续，可知
存在，必有
矛盾，所以假设不成立，
根据单调有界定理，
的连续可导函数
知，
满足
：在
存在，.
且
上严格单调递増，又由
则
内的平均角速度为
【答案】方法一若存在满足这些条件的函数，
所以这样的函数不存在.
方法二假若存在满足这些条件的函数，
由又由
对于是从而
得有
知
在
上严格单调递增，