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一、证明题

1． 设函数f 在且有

若若

综上，存在.

使得

2． 证明：若f (x ，y ) 在有界闭区域D 上连续，g (x ，y ) 在D 上可积且不变号，则存在一点使 得

【答案】不妨设

令M , m分别是f 在D 上的最大、最小值，从而

若若

则由上式

•则必大于0, 于是

由介值性定理，存在

使得

即

3． 设函数f (x ) 和g (x ) 在[a，b]内可积，证明:对[a，b]内任意分割

有

【答案】由积分的定义知

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上连续，且证明：存在点由f (x ) 在

使得

上连续可知F (x ) 在

上也连续.

【答案】作辅助函数

则取则

或即有

使

得

即

由根的存在性定理知，存

在

于是任取即可.

且

由于

可积，所以

(

所以

所以原命题成立.

4． 证明域

使得

在区间I 上内闭一致收敛于f 的充分且必要条件是：对任意在，所以

收敛于f.

充分

性

当

上所有点时，

取所以

5． 证明：若T' 是T 增加若干个分点后所得的分割，则

【答案】设T 增加p 个分点得到到

所以我们只需证但T 的其他小区间

的情形。

与的各

两项. 又因函数在

仍旧是新分割

所属的小区间，因此，比较一项换为后者中的

故

将p 个新分点同时添加到T ，和逐个添加到T , 都同样得

时，

由已

知

使

得

有

在

上一致收敛于f. 从

而

显然，当取遍[a，b]

上一致收敛于f. 总存在

的一个邻域而

和I 的一个内闭区间[a, b]，

使得

在

上一致

在[a, b]上一致收敛于f ，因此

存在的一个邻

为振幅)

【答案】

必要性

覆盖[a, b].由有限覆盖定理，存在有限个区间覆盖[a，b].不妨设

，有

则当n>N时，

在I 上内闭一致收敛于f.

在[a, b]上一致收敛. 由[a, b]的任意性，得

在T 上添加一个新分点，它必落在T 的某一小区间内，而且将分为两个小区间，记作

个被加项，它们之间的差别仅仅是前者中的

子区间上的振幅总是小于其在区间上的振幅，即有

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即

就有

一般的，对t 增加一个分点得到

这里

6． 证明：场

故

是有势场并求其势函数。

都有

【答案】对空间任一点

故A 是有势场。 由

故其势函数为：

二、解答题

7． 计算下列第二型曲面积分：

(1) (2

)

(3) (4

)

和球面

(5

)

取外侧； 其中是抛物面

方向取上侧； 其

中

为锥

面

其中为锥面

的外侧； 其

中

是闭曲

面

所围立体表面的外侧，f (u ) 具有连续导数； 其

中

是三维空间中xy 平面上的曲线

段

绕y 轴旋转而成的曲面，方向取右侧；

(6

)

其中

是平行六面体

的表面并取

外侧，f (x ) , g (y ) ，h (z ) 为上的连续函数；

(7)

【答案】(1)

补充平面式得

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其中为椭球的表面，取外侧.

取其上侧，设

与

围成的区域为

则由高斯公