2018年中国民航大学航空工程学院702数学分析与高等代数[专业硕士]之高等代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 为满足
的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设
由于性相关. 又由方法2:设考虑到
即
知
，
由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于
所以有
所以有
可推得AB 的第一列
并记A 各列依次为
从而
线
由于
不妨
故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.
2． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*, B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果
的伴随矩阵为（ ）.
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
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则分块矩阵
且
所以
3． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
其中得
因此A 与B 合同. 4． 设
A.
B.
C.
D. 【答案】B 【解析】
秩
或
但当a=1时，
秩
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则A 与B （ ）.
使
,
故
再由是正交阵，知T 也是正交阵，从而有且由①式
阶矩阵若矩阵A 的秩为则a 必为（ ）
故
5． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
A. B.
C.
不一定是线性变换，比如不是惟一的.
. 则
也不是线性变换，比如给
,
【答案】C 【解析】而
二、分析计算题
6． 设A , B为n 阶方阵. 证明：若
①②
【答案】①
因
②证法I 因为所以由
同理，
7． 设A 为方阵，I 为单位矩阵，且
（1）证明
可逆.
【答案】（1）证明由（2）由题设得
又由
得A 的特征根A 满足
所以5不是的特征根，从而
可逆. 得
所以
可逆.
（2）求满足下列方程的方阵
X.
因此，
得
但
是
故
故
故
从而且
证法II 利用分块矩阵初等变换.
由
此得
故
则
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