2018年中国传媒大学理学院819高等代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为常数，则
A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于所以又显然有基础解系.
考虑到
2． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使.
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】
3． 设线性方程组
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】设即证
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矩阵，
是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意
的通解为（ ）.
是非齐次线性方程组是对应齐次线性方程组
（否则与
有解矛盾），所以
的三个线性无关的解， 的两个线性无关的解.
从而
是
的一个
是. 的一个特解，所以选C.
D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B
其中
则PAQ=B
的解, 则（ ）.
的解都是线性方程组
与的解空间分别为则所以
4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似
【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.
所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B
则A 与B （ ）.
二、填空题
5． 设
其中，【答案】【解析】因
所以则线性方程组
的解是_____. 有唯一解，
由克莱姆法则，并结合行列式性质，立知 6． 设矩阵
则A 的秩为_____ 【答案】【解析】由
3
可知秩为
【答案】3
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则
=_____
7． 设A , B为3阶矩阵，且
【解析】. 又由于所以
8． 多项式
【答案】【解析】设
将 9． 设中任一个.
【答案】对子空间的个数t 归纳
.
.
如
于是:
则
, 使
对第t
个子空间但设
（否则,
互不相同, 则如下t 个向量
中至少有一个不属于任何一个
10．已知二次型
（1）写出f 的矩阵A ;
（2）求出A 的特征值及对应的特征向量. 【答案】 （1）二次型的矩阵为
（2）可计算得所以
当
时，得特征向量
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，
，所以
.
除以.
所得余式为_____..
代入上式，得由商式和余式的惟一性即得.
三、分析计算题
是线性空间V 的t 个非平凡子空间, 证明:V 中至少有一个向量不属于
时,
因为
是V 的非平凡子空间,
所以存在
,
则
为所求, 否则, 便
有
即为所求；又如
果
设对t-l 个非平凡子空间结论成立, 即V 中有
,
如
则命题已证.
而如果
, 且对不同的
,
结合是非平凡子空间知,
存在
不属于同一个
矛盾）.
. 于是对任意数k , 有
中, 再结合命题得证.
A 属于1的全部特征向量为