2018年中国人民大学信息学院828高等代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1． 设
阶矩阵
若矩阵A 的秩为
则a 必为（ ）
A.
B.
C.
D. 【答案】B 【解析】
秩
故
或
但当a=1时，
秩
2． 设
与
为空间的两组基, 且
又
则（ ）.
A. B. C. D.B = A 【答案】C 【解析】令
由②有
将①代入④得
即故.
① ②
③
④
3． 设A 、B 为满足的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设
由于性相关. 又由方法2:设考虑到
即
故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.
4． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵A. B. C. D. 【答案】C 【解析】若当故选C. 5． 若
则
A.m+n
B.-（m+n） C.n-m D.m-n
【答案】C
都是4维列向量，且4阶行列式=（ ）.
时，
由
，用
使
则（ ）.
知
，
由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于
所以有
所以有
可推得AB 的第一列
并记A 各列依次为
从而
线
由于
不妨
右乘两边，可得
由
左乘
这与可得
矛盾，从而否定B , D. 矛盾，从而否定A ，
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
二、分析计算题
6． 设
是一组线性无关的向量，
证明:
线性无关的充分必要条件是
【答案】对任何数
都有
由于
线性无关，
于是
线性无关
只有
才能使
齐次方程组
只有零解. 有原书定理5推论2的逆否形式，此齐次方程组只有零解
的充要条件为 7． 设
（1 ）求满足
（2）对（1 ）中的任意向量【答案】（1）对矩阵
由此得到
线性无关的充要条件是
的所有向量
证明
作初等行变换，有
线性无关.
解之，得
其中k 为任意常数.
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