2018年中国海洋大学数学科学学院856高等代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵.
记
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题设知，所以
2． 设A 为常数，则
A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于所以又显然有基础解系.
考虑到
3． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
A. B. C. D.
有无穷多解 必有惟一解
必有非零解
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则A=（ ）.
矩阵，
是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意
的通解为（ ）.
是非齐次线性方程组是对应齐次线性方程组
（否则与
有解矛盾），所以
的三个线性无关的解， 的两个线性无关的解.
从而
是
的一个
是. 的一个特解，所以选C.
秩A , 则线性方程组（ ）.
【答案】D 【解析】 4． 设
其中A 可逆，则=（ ）.
A.
B.
C.
D. 【答案】C
1
【解析】因为
所以
5． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使.
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】
其中
则PAQ=B
D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B
阶方阵，且秩
秩
二、分析计算题
6． 在欧氏空间R 3 （内积按通常定义）中, 从基发, 求一个标准正交基.
【答案】先对
正交化:取
且
再标准化, 即得标准正交基为
7． 先求下列各矩阵在实数域上的初等因子, 再求其不变因子和标准形:
【答案】分别用.
表示以上两个矩阵.
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出
在实数域上的初等因子为
因此, 元素为
的不变因子为
的三阶矩阵即为
在实数域上的初等因子为
故
的不变因子为（秩为3）
因此, 主对角线上元素为
8． 设
【答案】由
记上式右端的n 阶方阵为A , 则数.
9． 已知
是V 的基
是数域P 上线性空间V 的基, 问
的四阶对角矩阵即为矗（A ）的标准形.
是V 的基吗？为什么？
的标准形
.
故主对角线上
于是是奇
（1）求A 的不变因子, 初等因子和最小多项式. （2）求A 的若当标准形. 【答案】 （1）用初等变换将
化为标准形,
于是A 的不变因子
是
最小多项式为
（2） A 的若当标准形为
初等因子
是
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