2018年中国民航大学中欧工程师学院702数学分析与高等代数[专业硕士]之高等代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，
如
则
为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E所以有
B （E-A ） =E
又C （E-A ）=A故
（B-C ）（E-A ）=E-A
结合E-A 可逆，得B-C=E. 2． 若
都是4维列向量，且4阶行列式 则
=（ ）.
A.m+n
B.-（m+n） C.n-m D.m-n
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
3． 设
则A 与B （ ）.
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似
【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.
4． 设行列式
所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B
，则方程，为
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
的根的个数为（ ）
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
有两个根
5． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2设二次型矩阵A , 则
是不定二次型，故选B.
是（ ）二次型.
由于因此否定A , C, A中有二阶主子式
从而否定D , 故选B.
二、分析计算题
6． 设
（1）计算
为正定矩阵，其中其中
分别为m 阶、n 阶对称矩阵，c 为
是否为正定矩阵，并证明你的结论. 所以有
（2）矩阵
是正定矩阵.
合同于矩阵
又D 为正定矩阵，可知M 为正定矩阵，从
而
令
有
即
7． 设f 为双线性函数，且对任意的
求证:f 为对称的或反对称的. 【答案】令（1）若（2）若所以
，都有
有则
有则
即为反对称的
下的矩阵为
求T 的特征值和相应的特征向量；又问:A 可否对角化（即与对角矩阵相似）？若可对角化, 求C 使
为对角矩阵.
故得T （即A ）的特征值为
矩阵.
（2）利用（I ）的结果判断；【答案】 （1）因
由（1）的结果可知，矩阵
对称. 对任意
的
故为正定矩阵. ’都有
，即厂为对称的.
，有
从而有
8． 设V 是数域K 上三维空间、, 又V 的线性变换T 在基
【答案】①易知T （即A ）的特征多项式为