2018年中国矿业大学(北京)理学院802高等代数考研核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 计算
【答案】
（1）
由于
，所以
得
2． 设
（2）
式（1）、式（2）联立，消去
，是数域P 上两个不全为零的多项式. 令
，使
不全为零，则
. 存在. 且存在
使
证明存在【答案】方法1，
任意
故
又任意故
，现在令
，就有
方法2在S 中取一个最低次数的多项式式）. 对S 中任一多项式
若
，则
，用
去除. 但
（因
不全为零，S 中有非零的多项
则
使
. 设其商式和余式分别为
，有
t
它的次数故只能
3． 用消元法求下列向量组的极大线性无关组与秩：
分别排为它的1, 2, 3, 4列
.
，与
是中次数最低的多项式矛盾.
这就证明了
，
.
于是
【答案】作下列矩阵A , 把
对它作初等行变换化成阶梯形
.
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最后的矩阵中第1, 2, 4列构成列向量组的极大线性无关组，秩为3. 而初等行变换不改变列向量之间的线性关系. 故
类似于
4
． 设V 为有限维线性空间,
试证明之. 【答案】用反证法若取则再令
的一组基
令
由于 设
并扩大为V 的一组基
则
则
为非零子空间
, 如果存在惟一的子空间
使
（直和）
则
的第1, 2, 4列也构成的列向量组的极大线性无关组
，即
是一个极大线性无关组，秩为3.
是
的一个极大线性无关组，秩为3.
中的计算过程可得
上③式右端的矩阵行列式值为1, 可知基. 因此
下证
. 用反证法, 若
有
则有
这是不可能的. 因为由 5． 设
②若角化.
②若A 可对角化, 由于A 的全部特征根为方阵C 使能对角化.
故A 与数量矩阵
相似. 因此, 存在可逆
矛盾. 因此A 不
（即数量矩阵只与自身相似）这与A 有
为n 阶上三角形矩阵. 证明:
但有
则A 不能对角化.
①若A 的主对角线上元素互异, 则A 可对角化；
【答案】①由A 为上三角形矩阵, 其主对角线上元素即其全部特征值, 又因其互异, 故A 可对
再由②知
矛盾.
线性无关, 从而也是V 的一组
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