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一、计算题

1． 把一颗骰子独立地掷n 次，求1点出现的次数与6点出现次数的协方差及相关系数.

【答案】记

则1点出现的次数从而有

欲求

故先求

由于

且因为

和

均为仅取0, 1值的随机变量，所以

时，有

由此得综上可得

X 与Y 负相关是可以理解的，因为在掷n 次骰子中，1点出现次数多必使6点出现次数少.

2． 设总体X 的密度函数为机样本，求的置信水平为

，其中的置信区间.

，根据伽玛分布的性质，

从而

.

为未知参数，

为抽自此总体的简单随

而当

时，由于

与

相互独立，所以

（第次投掷时，不可能既出现1点、同时又出现6点），因此当

6点出现的次数

【答案】由指数分布和伽玛分布的关系知

因此可得的置信水平为的置信区间为

标准

3． 设各零件的质量都是随机变量, 它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为差为

问5000只零件的总质量超过

为第i 只零件的质量，由

的概率是多少？

得

利用林德伯格-莱维中心极限定理，所求概率为

这表明:5000只零件的总质量超过

4． 设二维连续随机变量

的概率近似为

【答案】记

的联合密度函数为

试在时，求 当

时，

所以

【答案】先求条件密度函数

由此得，在

5． 设

时，

独立同分布，

服从以下分布，求相应的充分统计量:

已知:

未知:

分布:

（1）负二项分布（2）离散均匀分布；（3）对数正态分布:（4）瑞利

【答案】（1）样本的联合密度函数为:

其中

由因子分解定理知

是充分统计量.

（2）样本的联合密度函数为

由因子分解定理知是充分统计量.

（3）样本的联合密度函数为

由因子分解定理知

（4）样本的联合密度函数为

由因子分解定理知

6． 设

是充分统计量.

是充分统计量.

，试求1—X 的分布.

【答案】X 的密度函数为

因

为

，所以

在（0, 1）上为严格单调减函数，其反函数

为的密度函数为

这表明:当

时，1—X 与X 同分布.

，现随机地抽取10个试件进行抗压试验，测得数据如

（1）求平均抗压强度. 的置信水平为（2）若已知

（3）求的置信水平为【答案】 （1）经计算得，区间为

查表得，

因而的置信水平为

的置信区间为

（2）在查表得，

已知时，的置信水平为

的置信区间为

，因而的置信水平为

的置信区间为

且

有

7． 已知某种材料的抗压强度下:

的置信区间；

的置信区间；

的置信水平为

的置信

，求平均抗压强度的置信水平为

的置信区间.

在未知时，