2018年陕西师范大学数学与信息科学学院762概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 口袋中有a 个白球、b 个黑球和n 个红球，现从中一个一个不返回地取球. 试证白球比黑球出现得早的概率为
，与n 无关.
又设为“有n 个红球时，白球比黑球出
•
【答案】记事件A 为“第一次取出白球”，B 为“第一次取出黑球”，C 为“第一次取出红球”容易看出:事件A ，B , C 互不相容，且现得早”，记
（2）设其中
. 以下对n 用归纳法:
，则
»
，代入可得
由归纳法知结论成立.
2． 设
是来自密度函数为
的样本，
（1）当n=0时，则“白球比黑球出现得早”意味着:第一次就取出白球，所以有
（1）求的最大似然估计它是否是相合估计？是否是无偏估计？ （2）求的矩估计
它是否是相合估计？是否是无偏估计？
【答案】（1）似然函数为
显然又
在示性函数为1的条件下是的严增函数，因此的最大似然估计为的密度函数为
故
故
不是的无偏估计，但是的渐近无偏估计. 由于
且
这说明又
是的相合估计.
，这给出，所以
所以的矩估计为，从而有
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（2）由于，
这说明既是的无偏估计，也是相合估计.
比赛进行到有一人
表示到第k-l
3． 甲、乙两人进行象棋比赛，每局甲胜的概率为p ，乙胜的概率为连胜两局为止，求平均比赛局数.
【答案】设X 为决定胜负所需的局数，X 可取2, 3, …等正整数值，事件局时没有一人连胜两局，总是两人轮流胜，所以
公式，可得
又因为对任意的
，总有
故由E （X ）是pq 的严增函数可得
这表明:这种象棋比赛决定最终胜负的平均局数不超过3局，它在两选手势均力敌（p=l/2）时达到上界.
4． 口袋中有一个球，不知它的颜色是黑的还是白的. 现再往口袋中放入一个白球，然后从口袋中任意取出一个，发现取出的是白球，试问口袋中原来那个球是白球的可能性为多少？
【答案】记事件A 为“取出的是白球”，事件B 为“原来那个球是白球”. 容易看出:得
5． 将n 根绳子的2n 个头任意两两相接，求恰好结成n 个圈的概率.
【答案】设事件
”，为“恰好结成n 个圈记
，又记事件B 为“第1根绳子的两个
容易看出
所以得递推公式
由此得
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，
是合理的. 由贝叶斯公式
另外由于对袋中原来那个球的颜色一无所知，故设
头相接成圈”，则由全概率公式得
6． 某单位有一台电话总机和200台电话分机, 在同一时刻每台分机以0.05的概率使用外, 且每台分级使用外线与否是相互独立的, 试用中心极限定理估计该单位总机需多少条外线, 才能保证每台分机以90%的概率使用外线.
【答案】设同时使用紫外线的分机数为X ,
设此单定安装的外线共有N 条, 则应用中心极限定理
又查表知
则
故至少要安装14条外线.
7． 一海运货船的甲板上放着20个装有化学原料的圆桶，现已知其中有5桶被海水污染了. 若从中随机抽取8桶，记X 为8桶中被污染的桶数，试求X 的分布列，并求E （X ）.
【答案】因为X 的可能取值为0, 1，2, …，5, 且
将计算结果列表为
表
1
由此得
8． 设
，试证:事件A 与B 独立的充要条件是
.
即
【答案】先证必要性:因为A 与B 独立，所以A 与独立，由此
得再证充分性:由由此得
可得
，所以A 与B 独立.
，即
二、证明题
9． 设总体为
证明样本均值和样本中程【答案】由总体
为样本，
都是的无偏估计，并比较它们的有效性. 得
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因而
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