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一、计算题

1． 一射手单发命中目标的概率为

射击进行到命中目标两次为止. 设X 为第一次命中

的联合分布和条件分布.

目标所需的射击次数，Y 为总共进行的射击次数，求数X 服从几何分布

即

其中p 为命中概率，第二次命中目标的射击次数Y 服从负二项分布

由于X 与

相互独立，所以条件分布

从而

的联合分布列为

另一条件分布

注:从以上条件分布列

可知:在已知第二次命中目标的射击次数为y 的条件下，

即

【答案】只论命中与不命中的试验是伯努利试验. 在一伯努利试验序列中，首次命中的射击次

第一次命中目标的射击次数X 是在前面次射击中等可能的. 2． 设二维随机向量在边长为1的正方形区域内服从均匀分布, 该正方形的中心在坐标原点, 对角线在坐标轴上.

（1）求（X , Y ）的联合密度（2）求X 与Y 的边缘密度（3）求条件密度（4）求【答案】 （1）

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；

；

；

..

（2）

同理,

（3）当（4）

时,

,

所以

3． 掷三颗骰子，求以下事件的概率:

（1）所得的最大点数小于等于5; （2）所得的最大点数等于5. 【答案】这情况相当于从若记Y 为所得的最大点数，则

（1）（2）

中有返回地任取三个，所有可能为重复排列数

，这

是分母，而“最大点数小于等于5”，相当于从

中有返回地任取三个，所有可能为.

.

4． 设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6，P （B ）=0.8, 问:

（1）在什么条件下P （AB ）取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P （AB ）取得最小值，最小值是多少？ 【答案】（1）因为时，P （AB ）的最大值是0.6.

（2）因

为

. 而当

5． 设随机向量

时，有P （AB ）达到最小值0.4. 满足条件

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所以当

所以

有

其中

【答案】对等式由此解得

同理，对等式同理，对等式进一步

当

时，对等

式

的两边求方差可得

的两边求方差可得

的两边求期望

得

将上面三个式子分别代入

6． 对冷却到

方法A :

方法B :

【答案】设两种方法测量的潜热分别记为X 和Y ，并设

，可用双样本t 检验，则检验的拒绝域为:

本题中，n=13，m=8，直接计算可得，

.

因此有

，

而

，因此应拒绝原假设，即两

种测量方法的平均性能有显著性差异，检验的p 值为0.0036.

7． 设随机变量U 服从上的均匀分布，定义X 和Y 如下:

试求【答案】先求

的分布列. 因为

的可能取值是

所以

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均为常数，求相关系数

的两边求方差得

所以

有

由此可得

的表达式中，可得

时的潜热，数据如下:

的样品用A ，B 两种测量方法测量其溶化到

. ）要检验

和

假设它们服从正态分布，方差相等，试检验:两种测量方法的平均性能是否相等？（取