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一、证明题

1． 设连续随机变量X 的密度函数为P(x),试证:P(x)关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.

【答案】记X 的特征函数为为

这表明X 与从而X 与即数，

由于

2． 设

【答案】一方面

另一方面

3． 设总体概率函数是对

的任一估计

令

人们只需要考虑基于充分统计量的估计.

【答案】我们将均方误差作如下分解

注意到

，这说明

于是

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先证充分性. 若是实的偶函数，则又因

有相同的特征函数，

有相同的密度函数，而X 的密度函数为

则X 与所以，证明:

所以得

有相同的特征函

关于原点是对称的.

有相同的密度函数，所以X 与

故

再证必要性，若

的特征函数为

是实的偶函数.

是其样本，，证明

:

是的充分统计量，则

. 这说明，在均方误差准则下，

因而 4． 设和方差,

（2）当

【答案】 （1）由由于X 的概率密度为

所以

由此证得（2）由

由于

, 所以

知从而将①, ②代入

可得

① ②

与

相互独立知,

与

也相互独立, 从而

①此外, 由

是来自总体x 的简单随机样本,

, 证明:

相互独立知,

也相互独立,

所以

时,

分别为样本的均值

.

（1）当X 服从数学期望为0的指数分布时,

从而得到目的最大似然估计量为

5． （伯恩斯坦大数定律）设有

【答案】记有

所以

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是方差一致有界的随机变量序列，且当服从大数定律.

任对

存在

当

时，一致地

时，

证明:

由的任意性知

所以由马尔可夫大数定律知

6． 设A ，B ，C 为三个事件 ，且

.

证明:【答案】由所以得

. 进一步由

得

得

.

又因为

，

服从大数定律.

7． 证明:对任意常数c , d , 有

）

【答案】

由

得

因而结论成立.

8． 从同一总体中抽取两个容量分别为n , m 的样本，

样本均值分别为

将两组样本合并，其均值、方差分别为

证明:

【答案】设取自同一总体的两个样本为由

得

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样本方差分别为