2018年山西师范大学数学与计算机科学学院609数学之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设总体为
证明样本均值和样本中程【答案】由总体这首先说明样本均值为求样本中程注意到则
由于从而
这就证明了样本中程是的无偏估计. 又注意到
所以
从而
于是
在
时,
这说明作为0的无偏估计，在
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为样本，
都是的无偏估计，并比较它们的有效性. 得
是的无偏估计，且
的均值与方差，
令
因而
故
时，
样本中程比样本均值有效.
且X
的特征函数，由唯一性定理知是方差一致有界的随机变量序列，且当服从大数定律.
任对
所以
存在
当
时， 时，一致地
2． 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若随机变量与Y 独立，则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是伽玛分布
3． （伯恩斯坦大数定律）设有
【答案】记有
证明:
由的任意性知
所以由马尔可夫大数定律知
4． 设
证明:
服从大数定律.
为独立的随机变量序列，且
服从大数定律.
所以由
服从大数定律.
是样本
，的矩估计和最大似然估计都是
，则
它也是的相
的独立性可得
【答案】因为由马尔可夫大数定律知
5．
设总体
【答案】令
合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计.
对上式求导易知，当
时上式达到最小，最小值为
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，它小于的均方误差.
6． 设总体二阶矩存在，
【答案】不妨设总体的方差为
是样本，证明则
与的相关系数为
由
由于，
因而
所以
7． 设随机变量独立同分布，且
试用特征函数的方法证明:
【答案】因
为
这正是伽玛分布
8． 设
的特征函数，由唯一性定理知
是独立同分布的正值随机变量，证明:
【答案】记又因为由此得
，则诸同分布，且由
，所以有
，知|
存在且相等，
所以由
诸
的相互独立性
得
的特征函数
为
二、计算题
9． 将抗生素注入人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的现象, 以致减少了药效, 下表列出5种常用的抗生素注入牛的体内时, 抗生素与血浆蛋白质结合的百分比,
表1
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