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一、计算题

1． 将n 个完全相同的球（这时也称球是不可辨的）随机地放入N 个盒子中，试求:

（1）某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率；

（2）恰好有m 个空盒的概率；

（3）某指定的m 个盒子中恰好有j 个球的概率.

【答案】先求样本点总数，我们用N+1根火柴棒排成一行，火柴棒之间的N 个司隔恰好形成N 个盒子，并依次称它们为第1个盒子，第2个盒子，…，第N 个盒子，n 个球用“0”表示，考虑到两端必须是火柴棒方能形成N 个盒子，所以n 个（不可辨）球放入N 个（可辨）盒子中，就相当于把N-1根火柴棒（N+1根火柴棒中去掉两端的两根）和n 个“0”随机地排成一行，譬如N=4, n=3时，“10010111”表示第1个盒子中有2个球、第2个盒子中有1个球、第3、4个盒子中无球，这样一来，n 个球放入N 个盒子所有的样本点总数相当于:从N-l+n个位置任选n 个位置放“0”、其他位置放火柴棒，故样本点总数为

（1）记A 为事件“指定的某个盒子中恰有k 个球”，不失一般性，可认为第1个盒子中有k 个球，则余下n-k 个球放入另外N-1个盒子中，类似于样本点总数的计算，

此种样本点共有

，考虑到球不可辨故

（2）记为事件“恰有m 个空盒”，它的发生可分两步描述:

种取法. 第一步，从N 个盒子任取m 个盒子，共有

第二步，将n 个球放入余下的N-m 个盒中，且这N-m 个盒子中都要有球，这当然要求n ≥N-m （或m ≥N-n ），否则第二步发生的概率为零，为了使第二步能发生，我们设想先把n 个球排成一行，随机抽取球与球之间的n-l 个间隔中的N-m-l 个间隔放火柴棒即可，这有

综合上述两步，所求概率为

（3）若事件C 表示“指定的m 个盒子中恰有j 个球”，这意味着另外N-m 个盒子中放n-j 个球，由类似于样本点总数的计算知:j 个球放入m 个盒子中共有

第 2 页，共 32 页 种可能. 种放法，而另外n-j 个

球放入余下的N-m 个盒子中有种放法，于是所求概率为

2． 设总体密度函数为1个样本，并取拒绝域为

【答案】由定义，检验的势函数为检验，试求检验的势函数以及检验犯两类错误的概率. 是检验拒绝原假设的概率，为

. ； 在0.5到0.75间变动. ，现观测当当时，势函数就是检验犯第一类错误的概率，为时，1减去势函数就是检验犯第二类错误的概率， 即P 它是的函数，为

3． 设随机变量服从柯西分布，其密度函数为

试证:

当时，有

即结论得证.

4． 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少？

【答案】这个概率可用几何方法确定，记x 和y 分别为甲乙两艘轮船到达码头的时间，则（x ，y ）的可能取值形成边长为24的正方形，其面积为，而事件A “不需要等候码头空出”有两种可能情况:一种情况是甲船先到，则乙船在一小时之后到达，即满足y -x ≥1; 另一种情况是乙船先到，则甲船在两小时之后到达即满足x -y ≥2, 所以事件A 可表示为A ={（x ，y ）:x -y ≤-1或x -y ≥2}, 所以事件A 的区域形成了图1中的阴影部分，其面积为

方法得

，所以由几何【答案】对任意的第 3 页，共 32 页

图1

5． 箱子里有n 双不同尺码的鞋子，从中任取

（1）

（3）=“没有一双成对的鞋”； =“恰有二对鞋子”:

个等可能的样本点，这是分母，下面分别求各事件所含的（2）=“只有一对鞋子”: （4）=“有r 对鞋子”. 【答案】该问题中样本空间含有

样本点数.

（1）要使，发生，可分两步走，先从n 双鞋子中任取2r 双，再从抽取的2r 双鞋子各抽取一只，故中的样本点个数为，由此得

（2）要使发生，先从n 双鞋子中任取1双，再从余下的n -l 双鞋子中取出2（r -l ）双，最

中的样本点个数为

（3）仿（2）思路，中的样本点个数为

，由此得

，由此得

只，求下列事件的概率. 后从取出的2（r -l ）双中各取一只，故（4）因为中所含样本点个数为，所以得

譬如，取n =5，r =2，可以得

6． 设独立同分布，服从以下分布，求相应的充分统计量:

（1）负二项分布

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已知: