2018年清华大学数学科学系432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设分统计量.
【答案】由几何分布性质知，
其分布列为
在给定
后，对任意的一个样本
有
是来自几何分布
的样本，证明
是充
该条件分布与无关，因而
是充分统计量.
个
和个
譬如
这n 个分布，且
把此序列分成n 段，每段中
的个数依次记为
这里诸
服从几何
这个条件分布是离散均匀分布，可用等可能模型给其一个解释:设想有把它们随机地排成一行，并在最后位置上添上1个
我们指出，此种序列共有个（这是重复组合），而每一个出现这就是在
给定后
的
是等可能的，
即每一个出现的概率都是条件联合分布.
这个条件分布还表明:
当已知统计量
的值t 后，就可按此条件分布产生一个样本
它虽与原样本不尽相同，但其分布相同.
在功能上这等价于恢复了原样本. 这就是充分统计量的真实含义.
2． 设连续随机变量X 的密度函数P （x ）关于c 点是对称的，
证明：其分布函数F （X ）
有
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【答案】由p （X ）关于C 点是对称的，知
由
对上式右端积分作变量变换再对上式右端积分作变量变换结论得证.
对称分布函数的这个性质可用图1表示:
，则
，则
图1
3． 设
则
为独立的随机变量序列，证明:若诸服从大数定律.
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
且X 与Y 独立，
试证明:
其中c 为常
的特征函数，由唯一性定理知独立同分布，且
且
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的方差
一致有界，即存在常数c 使得
【答案】因为
4． 试用特征函数的方法证明分布的可加性:若随机变量
则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是
5． 设随机变量序列数，并求出c.
【答案】因为
令
分布
所以由切比雪夫不等式得，任对即再知即
6． 设X 为非负随机变量，a>0.
若
【答案】因为当a>0时
，
7． 证明:对任意常数c , d , 有
）
【答案】
由
得
因而结论成立.
8． 设总体的概率函数证明费希尔信息量
【答案】记，
，则
所以
另一方面，
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有
存在，证明:对任意的x>0,
有
是非负不减函数，所以由上题即可得结论.
的费希尔信息量存在，若二阶导数对一切的存在，