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一、填空题

1． 微分方程

【答案】

这是一个齐次型方程，

设

代入可得特解为

得到通解为

满足

的解为_____。

【解析】

方程的标准形式为

C 为任意常数，再将初始条件

2． 设函数z=z（x , y ）由方程

【答案】【解析】设

确定，则=_____.

，则

所以

又z （1, 2）=0，得

3． 设曲线

【答案】216π 【解析】

解法一：再用参数方程化为定积分：

则有

，取逆时针方向，则

_____。

解法二：为了去掉绝对值，把C 分成两段：配上坐标轴部分，分别构成闭曲线

，分别位于上半平面与下半平面，并

，均为逆时针方向，见下图。

其中坐标轴部分取积分两次，但方向相反抵消了。

围成的区域记为

，它们的面积相等为3π。在

解法三：直接利用对称性 C 关于x 轴对称，于是原积分= 4．

【答案】

_____。

5． 若

【答案】

上用格林公式得

对y 为偶函数，则。

【解析】交换积分次序，得

为可微函数且满足_____。

【解析】在又 6． 已知向量_____。

【答案】1

【解析】由题意知，令

，即

两边求导得， 。

则当c 满足条件a=b×c 时，r 的最小值为

，则

又，则，故

要求r 取最小值，则可求

的极值。故令且 7． 设

【答案】【解析】

8． 积分

【答案】

的值等于_____。

，解得

时，r 取到极小值，也是最小值，此时r=1.

二阶偏导数连续，则

_____。

【解析】交换积分次序，得

9． 设二元函数

【答案】

，则_____。