2017年吉林师范大学信息技术学院601高等数学考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设m=3i＋5j ＋8k ，n=2i-4j-7k和p=5i＋j-4k. 求向量α=4m＋3n-p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.
【答案】 α=4m＋3n-p=4（3i ＋5j ＋8k ）＋3（2i-4j-7k ）-（5i+j-4k）=13i+7j+15k, α在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分向量为7j.
2． 将下列个周期函数展开成傅里叶级数（下面给出函数在一个周期内的表达式）：
【答案】（1）函数f （x ）是半周期
的偶函数，故
因
满足收敛定理的条件且处处连续，故有
（2）函数f （x ）的半周期
l=1
因
满足收敛定理的条件，其间断点为
故有
（3）函数周期f （x ）的半周期
l=3
因f （x ）满足收敛定理条件，其间断点为
故有
3． 求对数螺线
【答案】
相应于
的一段弧长。
4． 己知制作一个背包的成本为40元, 如果每一个背包的售出价为x 元,
售出的背包数由
给出, 其中a , b 为正常数。问什么样的售出价格能带来最大利润?
【答案】设利润函数为p （x ）, 则
令由
, 得
知
（元）
为极大值点, 又驻点惟一, 这极大值点就是最大值点, 即售出价格
定在60元时能带来最大利润。
5． 求抛物线
及其在点
处的法线所围成的图形的面积.
即得
，
2
【答案】用隐函数求导方法，抛物线方程y =2px两端分别对x 求导，得
故法线斜率为k=-1，从而得到法线方程为，因此所求面积为
（如图所示）
图
6． 利用极坐标计算下列各题:
（1）（2）内的闭区域;
（3
）
，其中D 是由圆
周
所围成的在第一象限内的闭区域。
【答案】（1）在极坐标系中，积分区域
，于是
（2）在极坐标系中，积分区域
，于是
及直
线
，其中D 是由圆周
，其中D 是由圆周
所围成的闭区域;
及坐标轴所围成的在第一象限
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