2017年吉首大学数学与统计学院714高等数学考研强化模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 设D 为不等式
【答案】
所确定的区域，则
_____。
【解析】由题意知 2． 若
【答案】【解析】在又 3．
【答案】
_____。 ，即
两边求导得
， 。
为可微函数且满足
_____。
【解析】分区域去掉被积函数中的绝对值，则
4． 曲面
【答案】
与平面
，使得曲面在此点的切平面于平
面得，曲面
在的法向量
处的法向量
为
平行，
平行。由曲面方
程，
它应该与已知平面
即
，解得
故所求切平面方程为
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平行的切平面的方程是_____。
【解析】由题意，设曲面上有
点
即
5． 曲面
【答案】【解析】构造函数
将点
代入上式，即可得此点处切平面的法线向量为
6． 微分方程
【答案】
满足
的解为_____。
在点
，则
。
处的切平面方程为_____。
，故切平面方程为
【解析】
方程的标准形式为
C 为任意常数，再将初始条件
7． 积分
【答案】
的值等于_____。
这是一个齐次型方程，
设
代入可得特解为
得到通解为
【解析】交换积分次序，得
8． 设曲线
【答案】216π 【解析】
解法一：再用参数方程化为定积分：
解法二：为了去掉绝对值，把C 分成两段：
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，取逆时针方向，则_____。
则有
，分别位于上半平面与下半平面，并
配上坐标轴部分，分别构成闭曲线，均为逆时针方向，见下图。
其中坐标轴部分取积分两次，但方向相反抵消了。
围成的区域记为
，它们的面积相等为3π。在
解法三：直接利用对称性 C 关于x 轴对称，于是原积分=
对y 为偶函数，则。
上用格林公式得
9． 设a=（2, 1, 2），b=（4，﹣1, 10），c=b－λa ，且a ⊥c ，则λ=_____.
【答案】3
c=b－λa==. a⊥c , 故a ·c=【解析】（4，﹣1, 10）－λ（2, 1, 2）（4－2λ, ﹣1－λ, 10－2λ）（2, 1, 2）（·4－2λ, ﹣1－λ, 10－2λ）=27－9λ=0, 从而λ=3.
10．
【答案】
_____。
【解析】交换积分次序，得
二、选择题
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