当前位置：问答库＞考研试题

一、计算题

1． 某批产品含有N 件，其中M 件为不合格品，现从中随机抽取n 件中有X 件不合格品，则X 服从超几何分布，即

假如N 与n 已知，寻求该批产品中不合格品数M 的最大似然估计. 【答案】记未知参数M 的似然函数为L （M ; x ）=P（X=x）. 考察似然比

要使似然比化简此式可得是M 的增函数，即

类似地，要使似然比这表明，当

为整数且

必导致

时，似然函数L （M , x ）是M 的减函数，即

比较（*）式和（**）式可知，当为整数时，M 的最大似然估计为M 的最大似然估计为不为整数时，

综合上述，M 的最大似然估计为

譬如，在N=19, n=5，x=2场合，

M 的最大似然估计为7或8. 下面以实际计算加以佐证，几个

表

1

可见M 取7或8可使似然函数达到最大. 又如，在N=16，n=5，x=2场合，这时M 的最大似然估计

实际计算如下表

第 2 页，共 27 页

必导致

这表明：当

为整数和

时，似然函数L （M , x ）

而当

其中[a]为不超过a 的最大整数.

由于为整数，故

如下表1所示：

，（不为整数）

表

2

可见M 取6可使似然函数达到最大.

2． 某厂使用两种不同的原料生产同一类型产品，随机选取使用原料A 生产的样品22件，测得其平均质量为2.36（kg ），样本标准差为0.57（kg ）, 取使用原料B 生产的样品24件，测得其平均质量为2.55（kg ），样本标准差为0.48（kg ），设产品质量服从正态分布，两个样本独立，问能否认为使用原料B 生产的产品平均质量较使用原料A 显著大（取

）？

【答案】设X 为使用原料A 生产的产品质量，Y 为使用原料B 生产的产品质量，

则

由问题的陈述，我们看到这是关于两总体均值的检验问题，且为了

能够显著地认为使用原料B 生产的产品平均质量较使用原料A 大，必须将该陈述作为备择假设，只有当拒绝与之相对立的原假设时，才能说明使用原料B 生产的产品平均质量较使用原料A 显著大，因此，可建立如下假设检验问题

为完成此假设检验，应先对两总体的方差是否相等进行检验，若接受本t 检验；若

不成立，则可以用近似t 检验，对于检验问题

观测值未落入拒绝域内，由此可以认为两个总体的

则

.... 故拒绝域为

由于

因此在显著性水平

时，应接受原假设

即使用原料B 生

由所给条件，计算得

计算如下检验统计量

若取拒绝域为若取

贝!J

可以使用两样

可

方差相等，下面我们在方差相等的假定下检验上述关于均值的假设，此处可使用两样本t 检验，

产的产品平均质量没有显著地超过使用原料A 生产的产品平均质量.

3． 设随机变量Y 服从参数为λ=1的指数分布, 定义随机变量X 如下:

求

和

的联合分布列.

的联合分布列共有如下4种情况:

第 3 页，共 27 页

【答案】

所以

的联合分布列为

表

4． 设随机变量X 服从正态分布

【答案】由题设条件知

由此得

5． 已知

【答案】

6． [1]设总体X 的密度函数为机样本，求的置信水平为

，其中

的置信区间.

，现从此批产品中抽取容量为

求平均寿命

的置信水平为0.9的置信区间和单侧置信上、下限.

，根据伽玛分布的性质，

从而

.

因此可得的置信水平为

的置信区间为

查表可得，

.

【答案】由指数分布和伽玛分布的关系知

为未知参数，

所以

为抽自此总体的简单随

若. 试求

[2]设某电子产品的寿命服从指数分布，其密度函数为9的样本，测得寿命为（单位：kh ）

[2]这是题[1]的一个具体应用. 计算得

根据上题结论可知，的置信水平为0.9的置信区间为[0.0088, 0.0272], 单侧置信上限为0.0245, 单侧置信下限为0.0102. 所以，平均寿命1A 的置信水平为0.9的置信区间[36.76，113.64], 单侧置信上限为98.04，单侧置信下限为40.82.

第 4 页，共 27 页