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一、计算题

1． 口袋中有7个白球、3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率.

【答案】两个球颜色相同有两种情况：全是白球，全是黑球，所以仿抽样模型可得

2． 在单因子试验中，因子A 有4个水平，每个水平下各重复3次试验，现已求得每个水平下试验结果的样本标准差分别为1.5，2.0，1.6，1.2，则其误差平方和为多少？误差的方差是多少？

【答案】此处因子水平数r=4，每个水平下的试验次数m=3，误差平方和它们分别为

于是

其自由度为

误差方差

的估计值为

3． 某服装店根据历年销售资料得知：一位顾客在商店中购买服装的件数X 的分布列为

表

试求顾客在商店平均购买服装件数. 【答案】

4． 某地电视台想了解某电视栏目（如:每晚九点至九点半的体育节目）在该地区的收视率情况, 于是委托一家市场咨询公司进行一次电话访查.

（1）该项研宄的总体是什么？ （2）该项研宄的样本是什么？

【答案】（1）该项研宄的总体是该地区全体电视观众； （2）该项研宄的样本是该地区被电话访查的电视观众.

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的估计值

由四个平方组成，

5． 己知

【答案】由条件概率的定义知

其中

再由

可得

6． 对冷却到-0.72°C 的样品用A , B 两种测量方法测量其溶化到0°C 时的潜热，数据如下：

方法A :

方法B :

【答案】设两种方法测量的潜热分别记为X 和Y ,

并设

可用双样本t 检验，则检验的拒绝域为：

本题中，n=13, m=8，直接计算可得，

因此有

而

因此应拒绝原假设，即两种测量

方法的平均性能有显著性差异，检验的p 值为0.0036.

7． 将n 根绳子的2n 个头任意两两相接，求恰好结成n 个圈的概率.

【答案】设事件

为“恰好结成n 个圈”，记

又记事件B 为“第1根绳子的两个头

容易看出

所以得递推公式

由此得

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代回原式，可得

. ）要检验

和

假设它们服从正态分布，方差相等，试检验：两种测量方法的平均性能是否相等？（取

相接成圈”，则由全概率公式得

8． 设总体为为样本, 试求常数k , 使得

【答案】

由于Z 取值于（0, 1）, 故由题目所给要求有

从而

于是

这给出

二、证明题

9． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布则

【答案】二项分布因为而

的特征函数为, 所以当

时,

则

正是泊松分布的特征函数, 故得证.

方差为

的总体中，分别抽取容量为

的两独立样本，

分别是

10．设从均值为

其中

,

这两个样本的均值. 试证，对于任意常数a , b （a+b=l），数a ，b 使Var （Y ）达到最小.

【答案】由于

是容量分别为

都是的无偏估计，并确定常

的两独立样本的均值，故

因而

这证明了又由a+b=l知，

是的无偏估计.

从而

由求导知，当

时，

达到最小，此时

这个结果表明，来自同一总体的两个容量为^和&的样本的合样本（样本量为

是线性无偏估计类

中方差最小的.

）的均值

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