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一、计算题

1． 在下列密度函数下分别寻求容量为n 的样本中位数

（1）（2）（3）（4）称, 所以

关于0.5对

=0.5, 于是样本中位数

的渐近分布为

所以

的渐近分布为, 所以相应的中位数为

所以

的渐近分

的渐近分布.

【答案】（1）先求出总体的中位数. 该分布是贝塔分布Be （2, 2）, 可以看出（2）正态分布

的中位数为

（3

）该分布的密度函数为布为

（4）该分布的密度函数关于y 轴对称, 故相应的中位数为0, 所以

2． 某饮料商用两种不同配方推出了两种新的饮料，现抽取了10个消费者，让他们分别品尝两种饮料并加以评分，从不喜欢到喜欢，评分由1〜10，评分结果如下：

表

问两种饮料评分是否有显著差异？ （1）采用符号检验方法作检验； （2）采用符号秩和检验方法作检验. 【答案】10个差值为

（1）由于差值中正数的个数为5，从而检验的p 值为

的渐近分布为

P 值很大，故不能认为两种饮料评分有显著差异.

（2）四个负的差值的秩分别为2.5，2.5，4和5，故符号秩和检验统计量为双边假设检验，检验拒绝域为表知

而

在给定

这是一个下，查

观测值没有落入拒绝域，故也不能认为

两种饮料评分有显著差异，二者结果一致.

3． 已知某种材料的抗压强度，现随机地抽取10个试件进行抗压试验，测得数据如下：

（1）求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间； （2）若已知

求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间；

s=35.2176在未知时，的置信水平为95%的置信区间为

因而的置信水平为95%的置信区间为

（2）在查表得，（3）此处，

因而

已知时，的置信水平为95%的置信区间为

，因而的置信水平为95%的置信区间为

取

，查表得

，

由此可以得到的置信水平为95%的置信区间为[24.2239，64.1378].

4． 在（0，1）上任取一点记为X ，试求

【答案】

由

解得

是开口向上的，故有

所以

（3）求的置信水平为95%的置信区间. 【答案】（1）经计算得，查表得，

的置信水平为95%的置信区间为

因为

又因为二次函数

5． 某种圆盘的直径在区间（a ，b ）上服从均匀分布，试求此种圆盘的平均面积.

【答案】记X 为圆盘的直径，则圆盘的面积为

6． 设

所以平均面积为

是来自正态总体

的一个样本，对

考虑如下三个估计

（1）哪一个是

的无偏估计？

故有

这说明仅有

的无偏估计，而

的有偏估计.

（2）我们知道，估计的均方误差是估计的方差加上偏差的平方，即

而

这给出

于是

显然

7． 设总体密度函数为

（1）求g （θ）=1/θ的最大似然估计； （2）求g （θ）的有效估计. 【答案】（1）似然函数为

对数似然函数为

将对数似然函数求导并令其为0, 得似然方程

解之得

（2）令Y=-InX, 则

（2）哪一个均方误差最小？ 【答案】（1）由于

从而

所以的均方误差最小.

是其样本.