2017年首都师范大学概率论与数理统计应用数学数学与信息技术(一)之概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 三人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为1/5，1/3，1/4.求此密码被译出的概率.
【答案】记事件
为“第i 个人译出密码”，i=l，2，3，B 为“密码被译出”.则
注：互不相容可简化事件并的概率计算，相互独立可简化事件交的概率计算. 这里为了要利用相互独立性，把事件并在对偶法则下转化为事件交，这一方法以下会经常用到.
2． 设随机变量X 的密度函数为
如果E （X ）=2/3，求a 和b. 【答案】由
得
又由
得
，解得a=l/3，b=2. 联立（1）（2）
3． 在生产中积累了32组某种铸件在不同腐蚀时间x 下腐蚀深度y 的数据，求得回归方程为
且误差方差的无偏估计为（1）对回归方程作显著性检验（2）求样本相关系数；
（3）若腐蚀时间x=870，试给出y 的0.95近似预测区间. 【答案】（1）由已给条件可以得到因此
表
把这些平方和移至如下方差分析表上，继续计算
总偏差平方和为0.1246. 列出方差分析表；
若取显著性水平归方程检验的p 值为
则因此回归方程是显著的，此处，回
这是一个很小的概率，说明回归方程显著性很高. （2）样本相关系数
（3）若腐蚀时间x=870，则y 的预测值为
其0.95近似预测区间的半径为
从而y 的0.95近似预测区间为
4． 已知某种材料的抗压强度下：
（1）求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间； （2）若已知
求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间；
s=35.2176在未知时，的置信水平为95%的置信区间为
因而的置信水平为95%的置信区间为
（2）在查表得，（3）此处，
因而
已知时，的置信水平为95%的置信区间为
，因而的置信水平为95%的置信区间为
取
，查表得
，
由此可以得到的置信水平为95%的置信区间为[24.2239，64.1378].
的置信水平为95%的置信区间为
（3）求的置信水平为95%的置信区间. 【答案】（1）经计算得，查表得，
，现随机地抽取10个试件进行抗压试验，测得数据如
5． 设相互独立，且试求中
（1）至少出现一个的概率； （2）恰好出现一个的概率； （3）最多出现一个的概率. 【答案】⑴（2）
6． 设
（3）P （最多出现一个）=P（恰好出现一个）+P（都不出现）=2/9+1—26/27=7/27.
与
是从同一正态总体
独立抽取的容量相同的两个样本均值. 试确定样本容量且相互独立, 所以
于是有
等价地,
最后结果表明, 只要样本容量n 多14. 就可使同一正态总体的两样本均值距离超过标准差的可能性不大于0.01. 这意味着, 只要样本容量较大, 两样本均值的距离不超过的可能性是很大的, 可达0.99.
7． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
求X 与Y 的协方差及相关系数. 【答案】先求X 与Y 的期望与方差
所以
又因为
n , 使得两样本均值的距离超过的概率不超过0.01.
【答案】由于
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