2017年首都师范大学概率论与数理统计应用数学数学与信息技术(二)之概率论与数理统计复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
试求 （1）常数k ; （2）（3）（4）【答案】（1）（2）（3）（4）
的非零区域与
的交集如图的阴影部分,
图
由图得
2． 有一批枪弹，出厂时，其初速行测试，得样本值（单位：m/s）如下：
据经验，枪弹经储存后其初速仍服从正态分布，且标准差保持不变，问是否可认为这批枪弹的初速有显著降低（
）？
（单位：m/s）. 经过较长时间储存，取9发进
【答案】这是一个单侧假设检验问题，总体分别为假设分别为
待检验的原假设矾和备择假设
在显著性水平为下，
检验的拒绝域为
著降低.
关于本题说明一点：本题中的一对假
设
若取
查表知
经计算得
此处“值落入拒绝域内，故拒绝原假设，可以判断这批枪弹的初速有显
的检验与另一对
假设
的检验有完全相同的拒绝域，这是因为二者的拒绝域形式相同，
都形如由于使用该拒绝域的检验的势函数为
是的减函数，因而要求
与要求
等价，从而两个检验问题的拒绝域完全一
致. 该现象不是偶然的，具有普遍性，这从势函数的单调性得到保证.
3． 向中随机投掷一点P ，求P 点到AB 的距离X 的数学期望、方差与标准差.
【答案】先求X 的分布函数，作
的高CD ，记CD 的长度为h （如图）
.
图
=0；，设X 的分布函数为F （X ）则当x<0时，有F （x ）当时，为了求概率
作
=1；时，有F （x ）而当
使EF 与AB 间的距离为x. 利用确定概率的几何方法，可得
综上可得
由此得X 的密度函数为
故X 与
的数学期望为
从而得X 的方差与标准差分别为
4． 某种绝缘材料的使用寿命T （单位：小时）服从对数正态分布小时，
【答案】由位数为
其中
为标准正态分布N （0，1）的分位数，所以根据题意有
代人上面两式，可解得
5． 设有容量为n 的样本A , 它的样本均值为mA. 现对样本中每一个观测值施行如下变换差、极差和中位数.
【答案】不妨设样本A 为
样本B 为
, 且
因而
, 样本标准差为^, 样本极差为RA , 样本中位数为
如此得到样本B , 试写出样本B 的均值、标准
小时
，
知对数正态分布
的平p 分
若已知分位数
将
6． 某工厂一个班组共有男工9人、女工5人，现要选出3个代表，问选的3个代表中至少有1个女工的概率是多少？
【答案】设事件A 为“3个代表中至少有一个女工”，则为“3个代表全为男工”，因为
所以