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一、计算题

1． 设随机变量X 的密度函数为

试求以下Y 的密度函数：

【答案】（1）因为Y=2X+1的可能取值范围是其反函数为

及

. 且

是严格单调增函数，

所以Y 的密度函数为

（2

）因为

及

的可能取值范围是

.

且

是严格单调增函数，

其反函数为

所以Y 的密度函数为

（3）因为

其反函数为

的可能取值范围是

及

且在上是严格单调増函数，

所以Y 的密度函数为

这是韦布尔（Weibull ）分布的特例. 一般韦布尔分布（记为

本题结论就是

时的韦布尔分布形（1/2，1）.

）的密度函数为

2． 设P （AB ）=0，则下列说法哪些是正确的？

（1）A 和B 不相容； （2）A 和B 相容； （3）AB 是不可能事件； （4）AB 不一定是不可能事件； （5）P （A ）=0，或P （B ）=0； （6）P （A-B ）=P（A ）.

【答案】为了回答这个问题，先要明确一个命题：不可能事件的概率为零，但反之不然，即

，则点x 落在零概率事件不一定是不可能事件，譬如，向区间[0，1]上随机投点（其坐标记为x ）

[0.2，0.5]和[0.2，0.5）内的概率皆为0.3，这说明事件“x=0.5”的概率为零，但它是可能发生的事件.

（1）不正确，如A=[0.1，0.2]，B=[0.2，0.3]. ，B=[0.2，0.3]. （2）不正确，如A=[0.1，0.2）（3）不正确，如（1）中的反例. （4）正确.

（5）不正确，如（1）中的反例. （6）正确.

3． 某人每天早上在汽车站等公共汽车的时间（单位：mk ）服从均匀分布假设的先验分布为‘求后验分布.

【答案】

与的联合分布为

此处

于是的后验分布为

4． 抛三枚硬币，求至少出现一个正面的概率.

【答案】设事件A 表示“三枚硬币中至少出现一个正面”.若用“0”表示反面，“1”表示正面，其出现是等可能的，则此题所涉及的样本空间含有八个等可能样本点：

由于事件A 含有其中7个样本点，故P （A ）=7/8.

5． （泊松大数定律）设的概率为

为n 次独立试验中事件A 出现的次数, 而事件A 在第i 次试验时出现

则对任意的

, 有

【答案】记

则

，其中未知，

假如此人在三个早上等车的时间分别为5, 3, 8min ，

所以与的联合分布为

所以由切比雪夫不等式, 对任意的有

即

6． 一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率为

i=l，2，3，以X 表示3个零件中合格品的个数，求

【答案】记事件

3. 则因为. 为“第i 个零件是不合格品”，i=l，2，

所以

7． 设

试求【答案】先求

是独立同分布的随机变量, 其共同的密度函数为

的密度函数、数学期望和方差.

的分布函数. 当0

所以当0

这是贝塔分布

由此得

8． 先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z ），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F ），则再抛一次硬币，试验停止，那么该试验的样本空间

【答案】

是什么？

而

二、证明题

9． 设X , Y 均为（0, 1）上独立的均匀随机变量, 试证:

【答案】因为（X , Y ）的联合密度函数为

所以