2017年首都师范大学概率论与数理统计应用数学数学与信息技术(二)之概率论与数理统计复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设随机向量（
）满足条件
其中
【答案】对等式同理, 对等式同理, 对等式
进一步当d 尹0时, 对等式由此可得
将上面三个式子分别代入
2． 口袋中有7个白球、3个黑球.
（1）每次从中任取一个不放回，求首次取出白球的取球次数X 的概率分布列； （2）如果取出的是黑球则不放回，而另外放人一个白球，此时X 的概率分布列如何. 【答案】X 为首次取到白球的取球次数，则X 的可能取值为1，2，3，4. 记，i=1，2，…，10. 出的球为黑球”
（1）由乘法公式可得
将以上计算结果列表为
表
1
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均为常数, 求相关系数
的两边求方差得
由此解得
的两边求方差可得
的两边求方差可得
的两边求期望得（a+b+c）d=0, 所以有a+b+c=0,
的表达式中, 可得
为“第i 次取
（2）如果取出黑球不放回，而另外放入一个向球，则由乘法公式得
将以上计算结果列表为
表
3． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数如下, 试问X 与Y 是否相互独立？
（1）（2）（3）（4）（5）
【答案】（1）当时,
x>0
时
,
而当
y>0
. 所以由
, 知X 与Y 相互独立.
（2）因为
所以由
（3）当0 知X 与Y 相互独立. 而当0 , 所以由 知X 与Y 不相互独立, 实际上, 由于P （X , y ）的非零区域不可分离, 就可看出X 与Y 不相互独立. （4）当而当所以由 （5）当0 时, 时, , 知X 与Y 不相互独立. 而当0 第 3 页，共 30 页 所以由 （6）当一1 知X 与Y 不相互独立. 知X 与Y 相互独立. 4． 设某元件是某电气设备的一个关键部件, 当该元件失效后立即换上一个新的元件. 假定该元件的平均寿命为100小时, 标准差为30小时, 试问:应该有多少备件, 才能有0.95以上的概率, 保证这个系统能连续运行2000小时以上？ 【答案】记为第i 个元件的寿命, 如下不等式 再由林德伯格-莱维中心极限定理可得 由此查表得 , 从中解得 , 所以取 , 即应有23个此种元件, 可 . 则 , 根据题意可列 有0.95以上的概率保证这个系统能连续运行2000小时以上. 5． （泊松大数定律）设为n 次独立试验中事件A 出现的次数, 而事件A 在第i 次试验时出现的概率为 则对任意的 , 有 【答案】记 则 所以由切比雪夫不等式, 对任意的 有 即 第 4 页，共 30 页