2017年首都师范大学应用统计,金融统计,数学教育统计之概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设
是来自
的样本, 试求
的分布.
故
又与
独立, 于是
2． （泊松大数定律）设的概率为
为n 次独立试验中事件A 出现的次数, 而事件A 在第i 次试验时出现
则对任意的
, 有
【答案】记
则
所以由切比雪夫不等式, 对任意的
有
即
3． 设随机变量X 的密度函数为
试求
的数学期望.
且
与
服从二元正态分布, 故
【答案】由条件,
【答案】
4． 设总体密度函数为
【答案】对数密度函数为
x ＞c ，c ＞0已知，θ＞0，求θ的费希尔信息量I （θ）.
将上式对θ求导，得到二阶导函数为
于是
5． 设
为独立同分布的随机变量序列, 其共同的分布函数为
试问:辛钦大数定律对此随机变量序列是否适用？
【答案】此为柯西分布的分布函数, 而柯西分布的数学期望不存在, 因为辛钦大数定律要求数学期望存在, 所以辛钦大数定律对此随机变量序列不适用.
6． —批产品的不合格品率为0.02，现从中任取40件进行检查，若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品. 分别用以下方法求拒收的概率：（1）用二项分布作精确计算；（2）用泊松分布作近似计算.
【答案】记X 为抽取的40件产品中的不合格品数，则
（1）拒收的概率为
（2）因为
所以用泊松分布作近似计算，可得近似值为
可见近似值与精确值相差0.0007，近似效果较好.
7． 设求
的一个置信水平为【答案】
，的置信区间. 则
，
，故
，
而当
时，
，为 由此可写出其分布函数（更加简洁）
的分布完全，即
，
，
皆未知，且合样本独立，
而“拒收”
就相当于
已知，可作为枢轴量. 下求T 的分布.
利用商的公式，只是要注意Y 的积分范围. 此处变量取值范围为. 故当
时，
，
对给定的充分小的
由上式不难给出两个分位数，如取
则
于是给出了的一个置信水平为
的置信区间为
8． 己知
【答案】由乘法公式知
所以
二、证明题
9． 证明:若
则对
有
并由此写出
与
其
中
【答案】由t 变量的结构知, t 变量可表示
为
且u 与v 独立, 从而有
由于
将两者代回可知, 在
时, 若r 为奇数, 则
若r 为偶数, 则
证明完成. 进一步, 当r=l时
, 时,
（此时要求
（此时要
求否则方差不存在）.
否则均值不存在）, 当r=2