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一、选择题

1． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

A. B.

C.

不一定是线性变换，比如不是惟一的.

2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8，再将B 的第1列的1倍加到第2列得C ,

记

A. B. C. D. 【答案】B

【解析】由已知，有

于是

矩阵，下列选项正确的是（ ）.

线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.

则

线性无关，

则（ ）.

. 则

也不是线性变换，比如给

,

【答案】C 【解析】而

3． 设

A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A

均为n 维列向量，A 是

线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则

【解析】因为当线性无关时，若秩

否则有

线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

由上述知因此 4． 二次型

A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1

线性相关，所以线性相关，故选A.

于是

是（ ）二次型.

是不定二次型，故选B.

方法2设二次型矩阵A , 则

由于因此否定A , C, A中有二阶主子式

从而否定D , 故选B. 5． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似

【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.

则A 与B （ ）.

所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B

二、分析计算题

6． 设V 是数域P 上n 维线性空间, 明

:

量,

【答案】

由已知

于是

因而

式（7—17）右边的n 阶矩阵A 的行列式为范德蒙行列式, 由由

设

则

线性无关, 故是

的特征向量

,

设

是的特征向量. 注意到（7—17）成立,

也是V 的基, 故 7． 在

中，求由n 次方程组

确定的解空间的基与维数. 【答案】

线性无关

.

记

这里

由特征值

,

是V 的基,

互不相同,

故

只要证明则

互不相同, 则A 可逆,

且在P 中有n 个不同特征值

其中

是r

的特征值

证

的特征向

线性无关的充要条件是