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一、分析计算题

1． 取何值时以下方程组无解、有解？并求其解:

【答案】对增广矩阵施行初等行变换：

由

可知，

当

即

性方程组

.

可得原方程组的一般解为

2． 求证

【答案】

时，

,

又

所以

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即

1，-1/2时，

1

, 时原方程组无解.

当

的线

原方程组有无穷多解，且解增广矩阵为

A 、B 均为n 阶方阵.

时，显然

.

.

3． 设

（1）求A 的特征值与特征向量; （2）求

.

，所以A 的特征值为

, 得特征向量

，其中

为数域P 为不为零的任意常数.

故A 属于特征值1的全部特征向量为数.

（2）

令

，其中

为数域P 中不全为零的任意常

【答案】 （1）计算可得当

时，由

故A 属于特征值-2的全部特征向量为当

时，由

，得线性无关的特征向量

4． 设

【答案】先证必要性. 因为

所以存在

使得

此即再证充分性. 因为同理

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则

所以

5． 决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性：

【答案】是一个偶排列

.

是一个偶排列

. 是一个偶排列.

6． 设T , S是n 维空间V 的两个线性变换. 证明:

【答案】证法Ⅰ令于是

但因为

故由上又得

此即斯特不等式知:

故相应的有

7． 设A. D分别为m 阶，n 阶可逆方阵. 证明：

可逆；

【答案】①证法I 设H 可逆且可得

（1）

（2）

因为A ，D 可逆，故由（2）得与

均可逆.

反之，设

与

可逆且其逆为K , N, 则由直接验算可知，H 可逆且

（3）

证法II 因为A , D可逆，故

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则:

证法Ⅱ设T , S 在V 的某一基下的矩阵分别为A , B , 则TS 在此基下的矩阵为AB. 但由西尔维

则由

将M , G代入（1）后可知，