2018年聊城大学数学科学学院814高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设
求可逆阵P , 使
为A 的若当标准形.
【答案】先求A 的若当标准形, 易证
于是
的初等因子组为
故
设可逆阵
使
即有
也即
所以
于是有
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解之得
于是
2． 设求
及
•
，又
【答案】根据综合除法，得
故
3． 设A 是数域K 上的一个
（1）证明:W 关于（2
）设线性方程组
矩阵
, 曰是一个m 维非零列向量. 令
的一个子空间；
的增广矩阵的秩为r. 证明W 的维数
的运算构成
（3）对于非齐次线性方程组
求W 的一个基. 【答案】（
1）显然因为存在
使
又
所以
即
此说明W 是
任取
存在
使
的子空间.
由题设, 其解空间V 的维数为
（2）对线性方程组
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所以
是线性方程组
的解.
显然, 这
是W 形到V 的一个双射. 又
则
所以
且
可见W 与V
同构
, 从而有
这样, 存
在W 到V 的映射
,
存在
使
（3）由（2）W 与如下齐次线性方程组解空间同构.
该方程组的一个基础解系为:
其在
之下原像
即为W 的一组基.
4． 证明:有限维线性空间V 的任何真子空间均可表为若干个n-1维子空间的交, 这里
【答案】设W
为V
的真子空间.
如如令
显然, 令
则
（*）
结论显然（因为令
）
.
为
W 的基, 扩成V 的基
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