2018年南京邮电大学理学院814高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ,
则有（ ）.
A. 交换A 的第1列与第2列得B B. 交换A 的第1行与第2行得B C. 交换A 的第1列与第2列得- B D. 交换A 的第1行与第2行得- B 【答案】C
【解析】解法1:题设又
所以有
即题设
因此
即
2． 设线性方程组
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】设即证
与
的解空间分别为
则
所以
的解都是线性方程组
的解, 则（ ）.
右乘初等阵
所以
得
解法2
所以有
*
*
*
*
*
*
*
*
与分别为A , B 的伴随矩阵，
3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，
如
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E所以有
B （E-A ） =E
又C （E-A ）=A故
（B-C ）（E-A ）=E-A
则为（ ）.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵.
记
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题设知，所以
5． 在n 维向量空间取出两个向量组, 它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
中选三个向量组
，从而否定A , 若选
则A=（ ）.
若选故选B.
, ，从而否定C ,
二、分析计算题
6． 设A , B分别为m 阶与n 阶方阵. 证明：
（1）
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（2）
【答案】
由以下两个等式两端取行列式即分别得（1），（2）:
7． 设
证明:
是n 维欧氏空间V 子空间，且的维数小于的维数， 必有一个非零向量正交于中一切向量
恰由一切与正交的向量组成，所以只要证明则
矛盾.
时，结论显然成立. ，取
的基
, 因为
的基
, 等价于
而方程组（1）的方程个数即
8
． 计算n 阶行列式
未知量个数s , 所以它有非零解. . 使
为直和.
即可.
【答案】证法1, 由于事实上，
如所以
又
所以 所以 所以
证法2: （1）当（2）设令
【答案】（1）当（2）当其中
时，容易算得
那么
可拆成两个行列式之和，即
时，将第n 列写成两项和
①