2018年北京林业大学林学院725数学(自)之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设为
【答案】由中心极限定理知，当样本量n 较大时，样本
均
，
此可作为枢轴量，对给定
利用标准正态分布的
分位数
括号里的事件等价于
. 因而得
其左侧的二次多项式二次项系数为正，故二次曲线开口向上，而其判别式
故此二次曲线与A 轴有两个交点，记为则有其中
和
可表示为
这就证明了的近似
置信区间为
事实上，上述近似区间是在n 比较大时使用的，此时有
于是，的近似
置信区间可进一步简化为
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是来自泊松分布的样本，证明:当样本量n 较大时，的近似置信区间
，因而
可得
和，
，
2． 设随机向量
令
证明:
两两不相关的充要条件为
则
同理可得
由此得必要性:若由此得
3． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p , 证明:此商场一天内购物的顾客数服从参数为
的泊松分布.
【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有
这表明:Y 服从参数为 4．
设计.
【答案】由于
这就证明了
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间的相关系数分别为且
【答案】充分性:若
两两不相关.
两两不相关，则由上面的推导可知
的泊松分布.
证明
:
是的相合估
独立同分布
,
是的相合估计.
5． 设随机变量
【答案】若随机变量而
证明
则
也服从
从而
这就证明了
6． 从正态总
. 中随机抽取容量为100的样本，又设的先验分布为正态分布，证明:不管
，由共轭先验可知，的后验分布仍为正态分布. 由于n=100，
，
先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.
【答案】设的先验分布为其中所以
故，不管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.
7． 设
分别是
的UMVUE ，
是的UMVUE ，故
于是
►
因此
是
的UMVUE. 的容量为
的分布函数与密度函数分别为
的密度函数为
令
此变换的雅可比行列式的绝对值
于是y 的密度函数为
其中可得
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证明:对任意的（非零）常数【答案】由于满足
，分别是
，由判断准则知
，且对任意一个
，
8． 来自正态总体于对称，
且
【答案】记正态分布则容量为
的样本中位数是证明的密度函数关
与
的样本中位数
与分别是标准正态分布
的分布函数与密度函数，依据它们的性质