2018年北京工商大学理学院806概率论与数理统计之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
为独立随机变量序列，且
证明:
服从大数定律.
相互独立，且
由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
2． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p , 证明:此商场一天内购物的顾客数服从参数为
的泊松分布.
【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有
这表明:Y 服从参数为 3．
设明:
由又因为故有
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
为独立同分布的随机变量序列，方差存在.
又设服从大数定律. 【答案】不妨设
知
为绝对收敛级数，可记
否则令
因为
并讨论
即可.
为绝对收敛级数.
令
证
的泊松分布.
由此可得马尔可夫条件
【答案】因为
4． 设为
是来自泊松分布的样本，证明:当样本量n 较大时，的近似置信区间
【答案】由中心极限定理知，当样本量n 较大时，样本
均
，
此可作为枢轴量，对给定
利用标准正态分布的
分位数
括号里的事件等价于
. 因而得
其左侧的二次多项式二次项系数为正，故二次曲线开口向上，而其判别式
故此二次曲线与A 轴有两个交点，记为则有其中
和
可表示为
这就证明了的近似
置信区间为
事实上，上述近似区间是在n 比较大时使用的，此时有
于是，的近似
5． 设随机向量
令
证明:
两两不相关的充要条件为
则
，因而
可得
和，
，
置信区间可进一步简化为
间的相关系数分别为
且
【答案】充分性:若
同理可得
由此得必要性:若由此得
两两不相关.
两两不相关，则由上面的推导可知
二、计算题
6． 若事件A 与B 相互独立且互不相容，试求
【答案】由条件知
7． 设随机变量X 和Y 的分布列分别为
表
1
表
2
已知P （XY=0）=1，试求
的分布列.
表
3 ，所以
.
【答案】记（X , Y ）的联合分布列及各自的边际分布为
由题设条件P （XY=0）=1,
知
表4
1所以
得0代入上表得