2018年北京理工大学数学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 一个小学校长在报纸上看到这样的报道:“这一城市的小学学生平均每周看8h 电视. ”她认为她所在学校的学生看电视的时间明显小于该数字. 为此她在该校随机调查了100个学生，得知平均每周看电视的时
间
？
【答案】由于本题中样本量较大，可认为样本均值服从正态分布，依题意，需要建立的原假设和备择假设为
若取
，则
, 拒绝域
，由样本观测值计算得:
因而拒绝原假设，认为这位校长的看法是对的.
2． 考察一鱼塘中鱼的含汞量，随机地取10条鱼测得各条鱼的含汞量（单位:mg ）为
，试检验假
设设鱼的含汞量服从正态分
布
.
【答案】这是在总体方差未知下关于正态分布均值的单侧检验问题， 检验的拒绝域为由样本观测值计算得到
，故在显著性水平0.1下接受原假设.
3． 设以下所涉及的数学期望均存在，试证:
（1）（2）（3）
【答案】（1）由（2）因为（3）
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, 样本标准差为s=2h.问是否可以认为这位校长的看法是对
的
，当0.10时，查表知，
知
又由（1）知
所以有
4． 甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2, 乙的命中率为0.5, 以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求P （X ≤Y ）
【答案】因为当
:时，有
所以（X ，Y ）的联合分布列为
表
由此得
5． 设P （AB ）=0, 则下列说法哪些是正确的？
（1）A 和B 不相容； （2）A 和B 相容； （3）AB 是不可能事件； （4）AB 不一定是不可能事件； （5）P （A ）=0，或P （B ）=0; （6）P （A-B ）=P（A ）.
.
【答案】为了回答这个问题，先要明确一个命题:不可能事件的概率为零，但反之不然，即零，概率事件不一定是不可能事件，譬如，向区间[0, 1]上随机投点（其坐标记为x ）则点x 落在[0.2, 0.5]和[0.2, 0.5）内的概率皆为0.3, 这说明事件“x =0.5”的概率为零，但它是可能发生的事件.
（1）不正确，如A =[0.1, 0.2], B =[0.2, 0.3]. （2）不正确，如A =[0.1, 0.2），B =[0.2, 0.3]. （3）不正确，如（1）中的反例. （4）正确.
（5）不正确，如（1）中的反例. （6）正确.
6． 设随机变量的偏度系数和峰度系数.
【答案】因为
所以
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，对k=l, 2, 3, 4, 求与，进一步求此分布
偏度系数和峰度系数分别为
注:上述
与a ，b 无关，这表明:任一均勾分布的偏度为0，峰度为-1.2.
7． 口袋中有5个球，编号为1，2, 3, 4, 5. 从中任取3个，以X 表示取出的3个球中的最大号码.
（1）试求X 的分布列；
（2）写出X 的分布函数，并作图. 【答案】（1）从5个球中任取3个，共有号码，则X 的可能取值为3, 4, 5. 因
为
，所以
所以X 的分布列为
表
（2）由分布函数的定义知
的图形如图
.
种等可能取法.X 为取出的3个球中的最大
，且当
时，有
图
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