2018年北京林业大学林学院715数理统计(含概率论)之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设事件A ，B ，C 的概率都是
【答案】因为
上式移项即得结论.
2． 设随机向量
令
证明:
两两不相关的充要条件为
则
同理可得
由此得必要性:若由此得
3． 设随机变量
【答案】若随机变量而
这就证明了
第 2 页，共 40 页
，且
，证明:
间的相关系数分别为且
【答案】充分性:若
两两不相关.
两两不相关，则由上面的推导可知
证明
则
也服从
从而
4． 设二维随机变量服从二元正态分布，其均值向量为零向量，协方差阵为
是来自该总体的样本，
证明:二维统计量
【答案】该二元正态分布的密度函数为
是该二元正态分布族的充分统计量.
此处，
故
从而
注意到
上式可化解为
于是样本的联合密度函数为
由因子分解定理知，结论成立.
5． （1）设分布函数
其中
与
分别为总体的分布函数与密度函数.
时，样本极差
的分布函数.
做变换于是
与
其逆变换为
的联合密度为
第 3 页，共 40 页
和分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量，证明极差的
（2）利用（1）的结论，求总体为指数分布【答案】（1）
与
的联合密度函数为
雅可比行列式绝对值为
由此可以算得
的边际密度为
的分布函数为
（2）对于指数分布
由（1）中结果，有
6． 在伯努利试验中，事件A 出现的概率为p , 令
证明:【答案】
服从大数定律.
为同分布随机变量序列，其共同分布为
表
且
从而
又当
时,
与独立，所以
又因为
于是有
即马尔可夫条件成立，故
服从大数定律.
样本方差分别为
7． 从同一总体中抽取两个容量分别为n , m 的样本，
样本均值分别为
将两组样本合并，其均值、方差分别为
证明:
第 4 页，共 40 页