2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院750数学基础综合之数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 将函数
【答案】由
逐项积分上式得
因为
及根据定理
可知级数
再根据以上定理知幂级数在[0，1]上一致收敛.
在[0，1]上连续。
在
点展开为幂级数，并证明此幂级数在[0，1]上一致收敛.
2． 用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性定理。
【答案】一致连续性定理：若函数f 在闭区间上连续，所以任绐.
取
. 任意
存在则H 是
上连续，则在
有
不妨设
因此
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上一致连续. 因为在
对任意
的无限开覆盖. 由有限覆盖定理，从中可以选出有限个
开区间来覆盖不妨设选出的这有限个开区间为
取
时，由于
对任意
即当
由一致连续定义，
在 3． 证明：若在则
上一致连续。
有
常数，于是对任
何
则有
这里
有
上为连续函数，且对任何为常数。
时
，今
【答案】由题设知，
当
特别对任何
4． 证明下列各式
为常数。
【答案】(1) 令
则
因此
(2) 设
代入原方程有：
(3) 令
(4) 令
则则
因此
. 因此
5． 证明：
若
【答案】
由于
有
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在上可导，
且
对
有，
则
在上连续，从而在上有界，B 卩有
于是
已知
因为
6． 证明：级数
【答案】证法一：记
的项最多有
由阿贝尔变换得
由柯西收敛准则知原级数收敛.
证法二：将该级数中符号相同的项加括号得
因为
即同理可证
故
7．
设
当
时，
故
时
于是
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故当
在点
左连续，所以收敛.
时有
即
从而
，则任意的n , 存在k ，使
因为
所以
故
中使得
为单调递减数列且趋于0, 故交错级数
证明
如果
于是，
其中
收敛，从而原级数收敛. 为正整数. 那么，对任给的
存在
使得
【答案】由保不等式性知
，
即当时，原命题是成立的.
当时，
对任给的
存在
当