2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院723数学分析之数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1．
设级数
与级数
都发散，
试问
与
一定发散吗？又若与
都是
F —定发散.
如即发散.
一定发散. 这是因为：由
和P 使
而由
与
非负有
由柯西准则知
2． 设函数
发散.
具有连续的n 阶偏导数，试证：函数
【答案】应用数学归纳法证明.
当且
设
成立，则
所以，对一切的n ，
时，
的n 阶导数
发散知存在收敛.
非负数，则能得出什么结论？
【答案】⑴
当
又如，(2)
当
都发散时，
_两级数均发散，但两级数均发散，且，均非负时，则
对任意自然数N ，总存在自然数
3． 证明：若函数上一致连续.
在上连续，且
知对
总
有
其中b 为非零常数，则f (x )
在存在正数
于是，
对
当
【答案】首先，由
使
得
时，有
其次，由
在
综上，
取
与即
4． 证明下列各式：
【答案】(1) 是
(2) 由于是
(3) 由
(4) 因为
所以
(5)
(6) 设于是
上连续，知
存在
当
对
在上连续且一致连续.
时，
有
当
时
，
于是，对上述
的
事件至少一个发生. 于是，总
有
在
上一致连续.
, 由函数极限的局部有界性知，在内有界，于
由函数极限的局部有界性知，在内有界，于
知
即
，于是，在某个则
内
有界，故
故
(7) 设
则
于是
故
5． 证明对任意自然数n ，方程
【答案】令
连续函数的零点定理知，
又从而
对
6． 设则必是则存在一点
使
取
两边取极限得
在区间Ⅰ上连续，并且在Ⅰ上仅有惟一的极值点在Ⅰ上的最大(小) 值点。
在I 上的最大值点，
在
使得
(
不妨设则当
) 。由连续函数的最大最小值定理知
，
而是
时，
的一个极大值点，所以存在
即是
的一个极小值
证明：若是的极大(小) 值点，
在[0, 1]上存在惟一的零点，即方程
则
.
在[0, 1]上有零点.
所以.
在[0，1]上单调.
1]
上总有惟一实根在区间[0，
在区间[0, 1]上总有惟一实根
并求
因此，由
【答案】用反证法，只对是f 的极大值点的情形进行证明. 假设不是
上存在最小值m 。
因为
点，这与在I 上仅有惟一极值点矛盾. 故原命题成立。
7． 设f 为R 上的单调函数，定义证明在R 上每一点都右连续.
【答案】设f 为R 上的单调增函数. 根据单调有界原理，对一切是，g 的定义域是R ,
由于
即
就有
由
即当
的任意性知，g 在R 上每一点都右连续.
对于任给的
于是，当时
存在
极限使得当
时，把y 限制在
故g (x )
在
都存在. 于
时
内，
右连续.
二、计算及讨论题
8． 研究函数
的连续性，其中f (x ) 在闭区间[0, 1]上是正的连续函数。 【答案】当
时被积函数是连续的，因此F (y ) 为连续函数。当y=0时有F (0) =0。设m 为f (x )