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一、证明题

1． 设

b]上的连续函数列，为[a，且对任意

在[a，b]上不一致收敛于f (x ) ，则使得

这里不妨设设

再由

由于在点

连续，且由于数列

有界，故必有收敛子列，不妨设该收敛子列为故存在正整数N ，使得

所以

由保号性，存在正整数K ，当k>K

时有所以当n>N时矛盾. 从而

2． 叙述并证明二元连续函数的局部保号性.

局部保号性：若函数作在点

内

与【答案】设续，所以存在

从而当当得在其上

即

3． 证明数列

收敛，因此有公式

式中

577216... 称为尤拉常数，且当

所以

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有证明：如果

对任意正整数k

，

收敛于连续函数f (x ) ，则

【答案】假设

在[a, b]上必一致收敛于f (x ) .

且

. 由关于n 单调递增趋于f (x ) ，

在[a，b]上一致收敛于f (x ) .

连续，而且则函数在点

的某一邻域使得对任

意

同号，并存在某个正

数

则存在r , 使

取使得当

时

住取

时，有

因为在点处连

由上可知存在使

可见/在

上与同号且

时，. 并利用该公式求极限

于是有

【答案】因为

各式相加得

于是

即所以

下界. 其次

单调递减. 从而数列{xn}收敛，设

即

它的近似值为0.577216，或表示成利用上面的结论知

两式相减得

所以

4． 设

证明:【答案】因为连续，从而

故本题等价于证明

D.

因为

在[0, 1]上一致收敛于f (x ) , 所以对任意的

有

即

从而结论得证.

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是[0, 1]上连续函数，且在[0, 1]上一致收敛于

>是[0, 1]上的连续函数，且在[0, 1]上一致收敛于所以f (x ) 在[0, 1]上

存在

使得

从而对任意的

5． 证明：(1) 设在

(2) 设在【答案】(1) 设因为(2) 把函数其中

上可导，若上n 阶可导，若

和

都存在，则都存在，则

由拉格朗日中值定理得

都存在且相等，所以有

在点x 处展开为把

故

阶泰勒公式得

看作未知数，解上述线性方程组. 设这个

线段方程组的系数矩阵为A ，则

由范德蒙行列式的求值公式知

，

的线性组合. 由存在(其

中

根据(1) 的结论，

由

6． 设f 为R 上连续函数，常数

记

【答案】f 在R 上连续. 答:(1) 证法一，因为

而f (x ) 、c 连续，由连续函数的代数运算知，F (x ) 在R 上连续. (2) 证法二，设

则u (x ) 处处连续，又因为f (x ) 连续，由连续函数的运算法则知，复合函数是连续的.

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于是

，

存在可得

于

是

可以表示

为

存

在

的存在性可

知

也