2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院750数学基础综合之数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明：若函数在点
处有
【答案】
假设
使得
当
时
有
可知，存在
取
2． 设级数
【答案】设
收敛于A (有限数) . 证明
：
则有
故有
3． 证明：当
时
【答案】因为
所以
4． 设S 为非空数集，定义
⑴
【答案】(1) 设又有对于任意正数
存在
(2)
则任意
使得
证明：
则于是
，
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则为的极大(小) 值点。
由
及极限的保号性知，
存在
于是此时
有
使得当时，
时有
由
于是此时有
则当故为的极大值点。同理可证，
当
时，为f 的极小值点。
所以
即故是的一个下界.
故
是
的下确
界，即
(2) 同理可证.
5． 设
求证
注意到
则有
【答案】不妨设
6． 1) 证明：若数列
满足下列条件之一，则是无穷大数列：
2) 利用1) 题(1) 的结论求极限：
1)(1) 因为【答案】时，
于是
由此得，当n>N时，所以
也是无穷大数列.
，设r 是一个满足不等式
于是，当n>N时，
因为r>l, 所以
2)(1)
是无穷大数列. 因此，
是无穷大数列，
即
是无穷大数列.
的实数，由数列极限的保号性知，存
(2) 因为
，
由
知
是无穷大数列，
所以对于
存在正整数N ，使得当n>N
在正整数N ，使得当n>N时，
根据上题(1) 的结论有
(2)
于是
所以
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故
7． 设
证明：
收敛，并求其极限.
【答案】先用数学归纳法可证：
再用数学归纳法证明:
显然
归纳假设
则
从而②式成立. 由①，②式知
单调递増有上界，极限存在，可设
注意到
1<1.
二、计算及讨论题
8． 讨论
在(0, 0) 点的连续性和可微性.
【答案】①连续性：
从而连续. ②可微性：
显然不连续；同样
不连续. 故不可微.
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