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一、证明题

1． 设p 为正整数. 证明：若p 不是完全平方数，则是无理数.

【答案】反证法. 假设且n>1，

使得是

2． 证明

：

【答案】

是有理数. 由于P 不是完全平方数，于是存在两个互质的正数m ，n ，

由此得

是无理数.

由于

所以存在质数

于

于是

这与m ，n 互质矛盾，所以

由于所以上式综上可得

3． 设

为二阶可微函数，

，

为可微函数，证明函数

满足弦振动方程

及初值条僻【答案】

所以

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4． 证明：函数项级数

【答案】由于对任意

的

，

有

在

在

上不一致收敛，但和函数在所以存

在

〈一致收敛于0, 从而使

得

且由根式判别法易知

|上一致收敛，从而用数学归纳法可得和函数在

在

上无穷次可微.

上不一致收敛. 由于对任意

的

收敛，

所以

上无穷次可微. 由

1上无穷次可微. 的任意性可知和函数在

5． 设点的某邻域上有定义，且满足：

(1)

在(ii )

在试证明【答案】先证明条件(ii ) ，存在因此，当令不妨设下面证明对于

因为且

充分接近时，可使

再将y 固定，由条件(i ) ，存在因此

即_

当所以

时，有

由条件(i ) 得

利用(ii ) 及前面的结论，当

当

时，且存在.

时，且

有

根据柯西准则，可证

存在.

就有

上，对每个时，对所有

只要

存在极限

都有

(即对任

意

成立) .

存

在

当

上，关于一致地存在极限

-

6． 证明：若f (x ，y ) 在有界闭区域D 上连续，g (x ，y ) 在D 上可积且不变号，则存在一点使 得

【答案】不妨设

令M , m分别是f 在D 上的最大、最小值，从而

若若

则由上式

•则必大于0, 于是

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于是任取即可.

由介值性定理，存在

使得

即

7． 设是某个区间，数列由迭代公式

求证：(1) 当在区间上严格单调增加时，(2) 当在区间上严格单调减少时，相反的单调性.

【答案】(1) 以下分两种情况考虑： ①如果②如果

那么用数学归纳法容易证明数列必为严格单调増加数列； 那么用数学归纳法容易证明数列必为严格单调下降数列.

恰好是严格单调増加的，应用

的两个子列

产生，如果对

为严格单调数列；

和

都为严格单调数列，且具有

推出

(2) 注意到，当f 在区间上严格单调减少时，复合函数第(1) 小题的结论即得证明.

二、计算及讨论题

8． 求螺旋线

【答案】则

9． (1) 求

(2)

求(3)

求【答案】(1) 任意相乘，记

则有

其中

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对轴的转动惯量，设曲线密度为

点的幂级数展开式；

的和； 的和.

是一绝对收敛的级数. 由于绝对收敛级数可以