2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院723数学分析之数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 验证
【答案】因为
所以
而当
时，有
即
2． 证明：若
【答案】由
的构造，知
则数列
且
所以，数列设
3． 1) 证明：若数列
满足下列条件之一，则
是无穷大数列：
2) 利用1) 题(1) 的结论求极限：
1)(1) 因为【答案】时，
于是
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是在上的一个原函数。
因而即是在R 上的一个原函数。
收敛，求其极限。
单调递减且有下界，故其必收敛.
两边取极限，
得
解之，
得
所
以
所以对于存在正整数N ，使得当n>N
由此得，当n>N时，所以
也是无穷大数列. (2) 因为
，
由知是无穷大数列，
，设r 是一个满足不等式
于是，当n>N时，
的实数，由数列极限的保号性知，存
在正整数N ，使得当n>N时，
因为r>l, 所以 2)(1)
是无穷大数列. 因此，
是无穷大数列，
即
是无穷大数列.
根据上题(1) 的结论有
(2)
于是
所以
故
4． (1) 设
在
上可导. 若存在
上可导，设存在
使
使
)
证明:存在(2)
设
在
使得
设
证明：存在
使
【答案】(1) 方法一反证法：假设结论不真. 则对所有不妨设对一切.
必有
或者，都有
，则
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在上严格单调递增.
当令
充分大时，若有则有
对上述不等式取极限，则得
这与条件矛盾； 同理对所有立.
方法二若下设因为
所以对任意取定的数使得从而由若或
当当在
(2)
由于对所有或者
所以
故有
在都存在；
，
或者
这与条件矛盾；
同理对所有
都有
时，亦可得出矛盾，所以假设不成立，故原结论成
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都有
为有限数时，若
则存在
类似可证)
(
对
则
时，亦可得出矛盾，所以假设不成立，故原结论成
结论自然成立；
内连续，
使得
当
不恒等于使得函数存在
定理知，存在则时，
处取到最小值，则有
时
，
处取到最大值，则有
易知
由导函数的介值定理，
对所有
上严格单调递增，或
在
必有
上严格单调递减. 内可取到最大值，
设
任取一点作
上面的推理仍然正确
.
易知
在
内可取到最小值，设
在
注：第(1) 题是推广的罗尔中值定理.
下用反证法证明结论成立，假设结论不真，
令令若对一切当令
充分大时，有
则对任意
则有对所有都有
，则有均有
于是必有
上严格单调递增，
对上述不等式取极限，则得