2017年西安财经学院统计学院601理学数学之概率论与数理统计教程考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A-B 与C 独立.
【答案】因为
所以A-B 与C 独立.
2． 设总体X 的均值为方差为
线性无偏估计量. 证明
：与T 的相关系数为
【答案】由于于是
而
故有
从而
3 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量．则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是泊松分布
4． 证明:容量为2的样本
【答案】
5． [1]如果
试证: （1）
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是来自该总体的一个样本，
为的任一凸其中
为的线性无偏估计量，故
, 且X 与Y 独立,
.
的特征函数, 由唯一性定理知的方差为
（2）[2]如果
【答案】（1
）因为
是直线上的连续函数, 试证:
时
,
可得
所以又有
取M 足够大（譬
如
时, 有
成立. ）, 使
有
,
故当
有
即
（2）先证
明
成立, 进一步由
. 对任意
的
成立, 对取定的M , 存在N , 当
这时有
从而有
由即[2]若对任意的
的任意性知
成立.
是m 次多项式函数, 即
取M 充分大,
使有于是有
对取定的M ,
因为
是连续函数,
所以可以用多项式函数去逼近
, 使得
当
所以存在
因为
并且在任意有限区
时,
有使当
间上还可以是一致的, 因而存在m 次多项
式
对取定的m 次多项式
时, 有
当又因为
且
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同理可证由上面（1）得
则由题[1]知有
,
又选取
下证一般情况,
充分大,
使当
时,
有
又因为
时, 有
所以
从而有
由
6． 设
【答案】若
的任意性即知
, 证明:
, 结论得证.
服从贝塔分布, 并指出其参数.
, 则X 的密度函数为
由
在
上是严格单调增函数, 其反函数
为
Z 的密度函数为
整理得
这说明Z 服从贝塔分布
7． 设时,
, 其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半.
试证明:当n 充分大
为一独立同分布的随机变量序列, 已知
近似服从正态分布, 并指出此正态分布的参数.
【答案】因为为独立同分布的随机变量序列, 所以也是独立同分布的随机变量序列.
根据林德伯格-莱维中心极限定理知, 近似服从正态分布, 其参数为
8． 设X 为非负连续随机变量，若
（1）（2）
存在，试证明：
【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.利
用
得
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