2017年西安财经学院统计学院601理学数学之概率论与数理统计教程考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量．则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是泊松分布
2． 设
的特征函数, 由唯一性定理知
服从多项分布
其概率函数为：
其中即
其中
，i=l, ……k ,
.
记
并把这一分布记作
. 证明：的后验
为参数，
若
的先验分布为Dirichlet 分布，
.
, 且X 与Y 独立,
分布为Dirichlet 分布
【答案】因为的后验概率函数为
所以的后验分布服从Dirichlet
分布
3． 设随机变量X 与V 相互独立, 且证:
相互独立, 且
【答案】因为X 与Y 的密度函数分别为
下求（U , V ）的联合密度函数,
因为
的反函数为
, 且变换的雅
，其中
试
可比行列式为
所以, 当
时, 有
可
见
可分离变量, 故
4． 证明:对任意常数c , d , 有
【答案】
由
得
因而结论成立. 5． 设计.
【答案】由于
这就证明了
U 与V 相互独立, 其
中
独立同分布，，证明：是的相合估
，是的相合估计.
6． 设数为
是来自均匀分布
其中
的样本，的先验分布是帕雷托（Pareto ）分布，其密度函是两个己知的常数.
（1）验证：帕雷托分布是的共轭先验分布； （2）求的贝叶斯估计. 【答案】（1）同时成立，必须
与
的联合分布为
所以的后验分布为
要使
与
这是一个参数为
与
的帕雷托分布，因此帕雷托分布是的共轭先验分布.
（2）若选用后验期望估计，则
7． 设是参数的无偏估计，且有
【答案】由方差的定义可知
，
因而
所以
不是的无偏估计.
）间的相关系数分别为
且
令
证明:
两两不相关的充要条件为
则
试证不是的无偏估计.
由于
是参数的无偏估计，
即
8． 设随机向量（
【答案】充分性:若
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