2017年西安财经学院统计学院801统计学之概率论与数理统计教程考研仿真模拟题
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一、证明题
1． 设计.
【答案】由于
这就证明了
，是的相合估计.
独立同分布，
，证明：
是的相合估
2． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式
（1）（2）（3）
【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.
（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率.
因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N-m+1次必取到白球，若记
为第k 次取到白球的概率，则有
且
即
对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.
（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，
则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率.
3． 设总体X 的分布函数F （x ）是连续的, 为取自此总体的次序统计量,
设
试证:
（1）（2）
（3）和的协方差矩阵为
其中
成立.
且是来自均匀分布U （0, 1）总体的次序统计量:
【答案】（1）由分布函数F （x ）的单调性可知, （0, 1）总体的次序统计量；
（2）是来自均匀分布U （0, 1）总体的次序统计量, 所以, 故
（3）和的联合分布函数为:
又由分布函数F （x ）的连续性可知, F （X ）服从均匀分布U （0, 1）, 故而^是来自均匀分布U
则
所以,
结合（2）可知, 和的协方差矩阵为:
4． 记证明
【答案】
由
得
5． 试验证:以下给出的两个不同的联合密度函数, 它们有相同的边际密度函数
.
【答案】因为当
时, 有
又因为当0 所以 6． 若 【答案】因为 有相同的边际密度函数. 证明 ： 所以得P （AB ）=P（B ）. 由此得