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一、证明题

1． 任意两事件之并

可表示为两个互不相容事件之并，譬如

【答案】⑴

（2）利用加法公式可得

2． 设X 为非负连续随机变量，若

（1）（2）

存在，试证明：

（1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明

【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.利

用

得

（2）因为X 为非负连续随机变量，所以

也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得

令

则

3． 设总体X 的均值为方差为

线性无偏估计量. 证明：与T 的相关系数为

【答案】由于于是

而

故有

从而

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是来自该总体的一个样本，

为的任一凸其中

为的线性无偏估计量，故

4． [1]设随机变量X 仅在区间[a，b]上取值，试证：

[2]设随机变量X 取

值

【答案】[1]仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，因为

同理可证，

由上题的结论知

[2]仿题[1]有

5 设T 是g ，（θ）的UMVUE , 是g （θ）的另一个无偏估计证明：若．

【答案】因为T 是g （θ）的UMVUE

，即

即

且

的无偏估计，故其差

6． 设随机变量\服从柯西分布, 其密度函数为

试证:

当

时, 有

的样本,

是来自

的样本, 两总体独立.c , d

【答案】对任意的即

7． 设

结论得证. 是来自

由判断准则知

，则这说明

的概率分别

是

证明

：

是0的无偏估计，

是任意两个不为0的常数, 证明

其中

【答案】由条件有

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, 与分别是两个样本方差.

且

相互独立, 故

于是

8． 证明下列事件的运算公式：

（1）（2）【答案】⑴（2）利用（1）有

所以

二、计算题

9． 如果X 的密度函数为

试求

【答案】因为密度函数P （x ）的图形如图

.

图

因此所求概率为

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