2017年西安财经学院统计学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 有一位市场调查员，他感兴趣的是该地区成年人中将购买某种产品的比率θ（即该商品的市场占有率）. 现他要事先确定需要访问多少顾客（样本量n=?）才能使先知道
结果又是如何?
是来自二点分布b （1, θ）的一个样本，就是样本中购买此种商品的顾
是θ的置信水
平为0.95的置信区间? 其中是样本中购买此种商品的顾客的比例，d 是事先给定的常数. 假如事
【答案】设
客的比例，由中心极限定理知，当n 较大时，
在θ未知时，有
从而
即
这说明
区间的长度不超过2d ，即得
若α=0.05，
对第二个问题，当己知时，由于
在
当d=0.01, 0.02, 0.03时可分别算得
（或已知
是增函数，所以
样本量
，处理方法完全一样））
从而
这说明
信区间. 类似地，要求该置信区间的长度不超过2d ，即得到
譬如，
若已知
（即
）则
是θ的置信水平1-α的置
于是关于样本量的要求化为
与θ完全
是θ的置信水平1-α的置信区间. 要求该置信
随d 的增加（精度减少）迅速降低.
仍取α=0.05，当d=0.01, 0.02, 0.03时分别算得
那么就应利用这个信息，减少样本量，也即减少调查费用.
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未知情况相比样本量约减少25%, 由此可见，若对θ事先有若干信息可利用，得知市场占有率不会超过
2． 有n 个口袋，每个口袋中均有a 个白球、b 个黑球. 从第一个口袋中任取一球放入第二个口袋，再从第二个口袋中任取一球放入第三个口袋，如此下去，从第n-1个口袋中任取一球放入第n 个口袋. 最后从第n 个口袋中任取一球，求此时取到的是白球的概率.
【答案】记因为
“从第i 个口袋中取出的是白球”，且由上题（1）知
下用归纳法，设
则由全概率公式得
所以由归纳法知：
3． 设二维随机变量
【答案】
的非零区域与
的交集为图阴影部分, 所以
的联合密度函数为
,
试求
图
4． 学生在做一道有4个选项的单项选择题时，如果他不知道问题的正确答案，就作随机猜测. 现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率.
（1）学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是1/2; （2）学生知道正确答案的概率是0.2.
【答案】记事件A 为“题目答对了”，事件B 为“知道正确答案”，则按题意
有
（1）此时有
所以由贝叶斯公式得
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（2）此时有
所以由贝叶斯公式得
5． 求一回归直线y=A+Bx，使所有样本点小.
【答案】点
到直线y=A+Bx的垂直距离的平方为
如今要求A 与B ，使
使用微分法，并命其导数为零，可得如下两个方程：
由（*）式可得
并将其代入（**）式，可得
注意到恒等式
可将上式化为
使用相同的记号
则上式可表示为
整理后可得如下的二次方程：
由于判别式
故此二次方程有实根
.
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到该直线的垂直距离平方和最