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一、证明题

1． 设时,

为一独立同分布的随机变量序列, 已知

近似服从正态分布, 并指出此正态分布的参数.

【答案】

因为

为独立同分布的随机变量序列,

所以

也是独立同分布的随机变量序列.

试证明:当n 充分大

根据林德伯格-莱维中心极限定理知, 近似服从正态分布, 其参数为

2． 设连续随机变量X 的密度函数为p （X ）, 试证:p （x ）关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.

【答案】记X 的特征函数为为

这表明X 与-X 有相同的特征函数,

从而X 与-X 有相同的密度函数, 而-X 的密度函数为关于原点是对称的.

再证必要性, 若由于-X 的特征函数为 3． 设

, 则X 与-X 有相同的密度函数, 所以X 与-X 有相同的特征函数, 所以

的样本, 证明

故

是实的偶函数. 所以得

, 即

先证充分性. 若

是实的偶函数, 则

又因

是来自泊松分布是充分统计量.

有

【答案】由泊松分布性质知, 在给定T=t后, 对任意的

该条件分布与无关, 因而

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是充分统计量.

4． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明：

（1）（2）

【答案】（1）由于

存在，所以该级数绝对收敛，从而有

（2）

5． 设按有无特性A 与B 将n 个样品分成四类，组成

表

列联表：

其中n=a+b+c+d，试证明此列联表独立性检验的统计量可以表示成

【答案】检验的假设问题为

与B 是独立的. 统计表示如下：

进而得到

因而检验统计量为

在原假设成立下，我们计算诸参数的最大似然估计，为

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证明完成.

6． 设总体X 的密度函数为：

为抽自此总体的简单随机样本.

（1）证明：【答案】（1）令

即

的分布与无关，并求出此分布.

的置信区间.

则

的分布与无关，其密度函数为

由于从而求得

在

上单调递减，为使得区间长度最短，故应取c=0, 所以，的置信水平为

的置信区间为

（2）取c , d 使得

的密度函数为

（2）求的置信水平为

7． 设总体X 的分布函数F （x ）是连续的,

试证:

（1）（2）

（3）和的协方差矩阵为

为取自此总体的次序统计量,

设

且是来自均匀分布U （0, 1）总体的次序统计量:

其中

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